3.2.Решение систем методом обратной матрицы.

Пусть дана система (3.1). Введем матрицы

Тогда система (3.1) может быть записана в матричной форме

A·X =B (3.3)

Если матрица A-невырожденная, то есть определитель системы Δ=|A|≠0, то существует обратная к ней матрица A^-1. Умножая обе части уравнения (3.3) на матрицу A^-1 слева, получим решение системы (3.3) в матричной форме

X = A^-1·B (3.4)

Если матрица A-вырожденная, то есть |A|=0, то решение системы(3.1) с помощью обратной матрицы невозможно. В этом случае можно использовать метод Гаусса.

________________________________________________________________________________

Пример 108. Найти решение системы

Решение. Вычислим определитель системы

Матрица A-вырожденная, найдем обратную матрицу.

Решение имеет вид (3.4)

Отсюда x₁= 5, x₂= -1.

Пример 109. Решить систему

Решение. Выпишем матрицы A, X, B

Определитель системы Δ=|A|=-1. Обратная матрица A^-1.вычислена в примере 83. Тогда решение имеет вид (3.4):

Отсюда следует, что x₁= 1, x₂= 2, x₃= 3.

Примеры для самостоятельного решения. Решить системы с помощью обратной матрицы

110. 111.

112. 113.

114. 115.

________________________________________________________________________________

3.3 Решение систем линейных уравнений методом исключения неизвестных (методом Гаусса). Карл Фридрих Гаусс ( 1777-1855 ), немецкий математик.

Другим эффективным методом решения и исследования систем линейных уравнений является метод исключения неизвестных, называемый также методом Гаусса. Этот метод использует элементарные преобразования систем.

К элементарным преобразованиям относятся:

1)Прибавление к обеим частям одного уравнения соответствующих частей другого уравнения той же системы, умноженных на одно и то же число, не равное нулю.

2)Перестановка уравнений местами.

3)Удаление из системы уравнений, являющихся тождествами для всех х.

В результате элементарных преобразований система линейных уравнений преобразуется в систему линейных же уравнений, равносильную исходной.

Метод Гаусса состоит в том, что данная система линейных уравнений (3.1) преобразуется в равносильную ей систему треугольного или трапецеидального вида.

(3.5)

Операцию приведения системы (3.1) в систему (3.5) называют прямым ходом метода Гаусса. Заметим, что последнее уравнение системы (3.5) может иметь трапецеидальный вид, если система имеет бесчисленное множество решений или несовместна.

Отыскание решения системы (3.5) называют обратным ходом метода Гаусса. Из последнего уравнения находим , затем из предпоследнего находим , используя уже известные x_n. Неизвестные x_n-2,…,x₃, x₂, x₁ вычисляем из соответствующих уравнений. Перемещаясь к первому уравнению, получим

(3.6)

Заметим, что по методу Гаусса можно исследовать систему линейных уравнений, если определитель ее равен нулю. Также по этому методу исследуются системы, в которых число уравнений и число неизвестных различно.

Рассмотрим метод Гаусса на примерах.

________________________________________________________________________________

Пример 116. Исследовать и решить систему

Решение. Преобразование системы линейных уравнений по методу Гаусса осуществляется последовательно с помощью ряда шагов, на каждом из которых производится исключение одного неизвестного, сопровождаемое, может быть, перестановкой уравнений в системе. На первом шаге необходимо исключить неизвестное x₁ из второго третьего уравнений, при этом удобно в первом уравнении при неизвестном x₁ иметь коэффициент 1. Второе уравнение системы имеет коэффициент 1 при неизвестном x₁. Переставим первое и второе уравнения

Умножим первое уравнение на (-2) и прибавим ко второму, получим

Теперь первое уравнение умножим на (-5) и прибавим к третьему, получим

Первый шаг закончен. Второе и третье уравнения образуют подсистему. Исключим x₂ из третьего уравнения. Для этого умножим второе уравнение на (-10), а третье на 7 и прибавим к нему второе, получим

Второй шаг закончен. Система приведена к виду (3.5)- прямой ход Гаусса закончен. Обратным ходом получаем из третьего уравнения: , из второго уравнения- , из первого- ; то есть

Итак в данном случае система имеет единственное решение: x₁= -4, x₂= 3, x₃= -1.

Пример 117.

Решение. Переставим первое и второе уравнения

Выполним первый шаг. Исключим x₁ из второго и третьего уравнений. Для этого первое уравнение умножим на (-2) и прибавим ко второму, а умножив первое на (-5) и прибавив к третьему, получим

Выполним второй шаг. В подсистеме, содержащей второе и третье уравнения, исключим x₂ в третьем уравнении. Для этого второе уравнение умножим на (-2) и прибавим к третьему, получим

В результате этого шага получено уравнение 0=2 или 0·x₁+0·x₂+0·x₃=2. Этому уравнению не удовлетворяют никакие значения неизвестных, следовательно, данная система линейных уравнений несовместна.

Пример 118.

Решение. Преобразуем систему по методу Гаусса

Выполним теперь второй шаг.

В результате второго шага из трех уравнений системы осталось два, так как третье уравнение приняло вид 0=0 и удалено из системы. Система приведена к виду (3.5), прямой ход Гаусса закончен. Выполним обратный ход

Свободным неизвестным является x₃, положим x₃=α. Тогда x₁=-18-14α; x₂=36/7+15α/7; x₃=α. Система имеет бесчисленное множество решений. Придавая α различные значения будем получать частные решения. Заметим, что определитель исходной системы равен нулю, поэтому система не может быть решена по формулам Крамера и с помощью обратной матрицы.

Пример 119.

Решение. Данная система не может быть решена по формулам Крамера и с помощью обратной матрицы, так как число уравнений не совпадает с числом неизвестных. Исследуем систему по методу Гаусса. Выполним первый шаг. Исключим x₁ из второго, третьего и четвертого уравнений.

Исключим x₂ из третьего и четвертого уравнений. Для этого сначала второе уравнение умножим на (-2), а третье на 5 и сложим их, затем второе уравнение умножим на (-7), а четвертое на 5 и сложим их

Замечаем, что третье и четвертое уравнения совпали. Обратный ход метода Гаусса дает решение системы: x₃= 1, x₂= 1, x₁=2.

Решение линейных систем по методу Гаусса можно упростить, если вместо преобразований над системой производить элементарные преобразования над соответствующей матрицей:

Полученной матрице будет соответствовать система линейных уравнений треугольного или трапецеидального вида.

Пример. Решить систему линейных уравнений:

Решение. Составляем матрицу из коэффициентов и свободных членов системы:

~

Вместо того чтобы подвергать элементарным преобразованиям уравнения системы, будем преобразовывать строки матрицы. Из первой строки вычтем вторую:

~ ~

Первую строку полученной матрицы, умножая на 3, прибавляем ко всем остальным строкам:

~ ~

Вычитая из четвёртой строки третью, получаем:

~ ~

Вычитая из третьей строки вторую, умноженную на , получаем:

~ ~

Из четвёртой строки матрицы вычтем третью строку, умноженную на , получаем:

~ ~

Чтобы освободиться от дробей, третью строку умножаем на , а четвертую строку умножаем на , получаем:

~ ~

Этой матрице соответствует система линейных уравнений треугольного вида:

Очевидно, , подставляя в третье уравнение , получаем , затем подставляя значения x₃ и x₄ во второе уравнение, получаем 9x₂=0; отсюда x₂=0. Подставляя значения x₂,_, x₃, x₄ в первое уравнение системы, получаем x₁=2.

Итак, решение системы есть Х=(2;0;0;0).

Пример. Решить систему линейных уравнений по методу Гаусса:

Решение.. Составим матрицу из коэффициентов и свободных членов системы:

~

Приведем матрицу к треугольному или трапецеидальному виду с помощью элементарных преобразований.

Вычтем первую строку матрицы, умноженную на 2, из второй строки; затем первую строку вычтем из третьей и, наконец, умножив первую строку на 3 и вычтя её из четвертой строки, получим:

~ ~

Вычитая вторую строку матрицы из третьей и четвёртой строк, получим:

~ ~

Этой матрице соответствует система линейных уравнений трапецеидального вида

Из третьего уравнения следует , из четвертого уравнения , .

Подставляя значения x₃ и x₄ во второе уравнения, получаем x₂=-1 и, наконец, подставляя значения x₂, x₃, x₄ в первое уравнение, будем иметь x₁=1.

Итак, система линейных уравнений имеет решение Х=( 1; -1; 2; 5 ).