Примеры для самостоятельного решения.
Вычислить обратную матрицу для матрицы A
85. а)
,
б)
.
86. а)
,
б)
.
87.
,
88. а)
б)
89. а)
б)
90.
Решить следующие матричные уравнения
91. а)
б)
в)
92. а)
б)
,
в)
,
г)
93.
94.
95.
96.
97. Как изменится обратная матрица A-1, если в матрице A переставить местами две строки.
________________________________________________________________________________
3. Системы линейных уравнений.
Определение. Система m уравнений с n неизвестными в общем виде записывается следующим образом:
,
(3.0)
где aij – коэффициенты, а bi – постоянные. Решениями системы являются n чисел, которые при подстановке в систему превращают каждое ее уравнение в тождество.
Определение. Если система имеет хотя бы одно решение, то она называется совместной. Если система не имеет ни одного решения, то она называется несовместной.
Определение. Система называется определенной, если она имеет только одно решение и неопределенной, если более одного.
Определение. Для системы линейных уравнений вида (3.0) матрица
А =
называется матрицей системы, а матрица
А*=
называется расширенной матрицей системы
Определение. Если b1, b2, …,bm = 0, то система называется однородной. однородная система всегда совместна.
3.1. Формулы Крамера.
Габриель Крамер ( 1704-1752 ), швейцарский математик.
Пусть дана система n линейных уравнений с n неизвестными
(3.1)
Определитель n-го порядка Δ=|A|=|aij|, составленный из коэффициентов при неизвестных, называется определителем системы.
Теорема. Если определитель Δ системы линейных уравнений отличен от нуля, то система имеет, и притом единственное решение, которое может быть определено по формулам
(3.2)
где определители n-го порядка Δi (i=1,2,3,…,n) получаются из Δ путем замены i-го столбца свободными членами b1, b2, b3,…, bn.
Формулы (3.2) называются формулами Крамера.
Примечания. Если определитель Δ системы (3.1) равен нулю, то
1) Формулы (3.2) не имеют смысла;
2) Система может иметь бесчисленное множество решений или не иметь решений (быть несовместной);
3) Исследование системы может быть проведено по методу Гаусса.
________________________________________________________________________________
Пример 98. Решить систему и сделать проверку
Решение. Определитель системы
поэтому решение ее определяется по формулам Крамера (3.2). Вычислим Δ1 и Δ2
Тогда x1=13/13=1, x2=-26/13=-2. Сделаем проверку
то есть
Пример 99. Решить систему
Решение. В данной системе x=x1, y= x2, z= x3. Вычислим определители
Так как Δ≠0, то данная система имеет единственное решение. Находим его по формулам (3.2)
x= Δx/ Δ=5/10=1/2, y= Δy/ Δ=20/10=2, z= Δz/ Δ=15/10=3/2.
Примеры для самостоятельного решения.
Решить следующие системы:
100.
101.
102.
103.
104.а)
б)
в)
105. а)
б)
в)
106. а)
б)
в)
107.
________________________________________________________________________________