2.3 Обратная матрица.

Квадратная матрица называется невырожденной, если определитель, составленный из всех элементов матрицы, отличен от нуля; если определитель равен нулю, то матрицу называют вырожденной или особенной. Обратная матрица существует только для квадратной невырожденной матрицы. Вырожденная матрица не имеет обратной.

Матрица A^-1 называется обратной для матрицы A, если A·A^-1= A^-1·A=E (E-единичная матрица).

Обратная матрица вычисляется по формуле

, (*)

где A_ij-алгебраические дополнения элементов a_ij в определителе |A|. Обратите внимание, что алгебраические дополнения для строк определителя |A| записываются в столбцы обратной матрицы. Так, например, в первом столбце этой матрицы стоят алгебраические дополнения первой строки определителя |A|.

С помощью обратной матрицы решаются матричные уравнения вида:

а) A·X =B; б) Y·A =B, где А и В – данные матрицы; X и Y – неизвестные матрицы.

Умножая первое уравнение на A^-1слева, а второе – на A^-1 справа, получим

A^-1·A·X= A^-1·B и Y·A·A^-1=B·A^-1

Учитывая, что A^-1·A= A·A^-1=E , E·X = X и Y∙E=Y, решение запишем в виде

а) X = A^-1·B; б) Y =B·A^-1.

Если А –прямоугольная или вырожденная квадратная матрица, решение этих уравнений сводится к решению систем линейных уравнений. Для получения этих уравнений надо приравнять элементы матриц в обеих частях равенства.

Иногда матричное уравнение A·X =B или Y·A =B в случае вырожденной матрицы А может оказаться неразрешимым, то есть не имеющим решения. Если же А – невырожденная матрица, решения даются формулами X = A^-1·B, Y =B·A^-1.

Процесс вычисления обратной матрицы по формуле (*) для матриц высокого порядка является трудоёмким. Трудность связана с вычислением алгебраических дополнений А_ij к каждому элементу. Находить обратную матрицу можно с помощью элементарных преобразований: 1) перестановки двух любых строк; 2) умножения строки на число с, отличное от нуля; 3) прибавления к одной строке другой, умноженной на любое число. Аналогичны и элементарные преобразования над столбцами. С помощью элементарных преобразований получаем матрицы, эквивалентные исходной. Любую невырожденную матрицу А путём элементарных преобразований только строк или только столбцов можно привести к единичной матрице Е.

________________________________________________________________________________

Пример 82. Найти обратную матрицу A^-1 для матрицы

и сделать проверку.

Решение. Покажем сначала, что данная матрица невырожденная, тогда она имеет обратную матрицу. Действительно,

Вычислим алгебраические дополнения определителя |A|: A₁₁=2, A₁₂= -4, A₂₁= -1, A₂₂=3.

Матрица A^-1 обратная к A имеет вид

.

Проверим правильность полученного результата:

Пример 83. Найти матрицу, обратную для матрицы

и сделать проверку.

Решение №1. Вычислим обратную матрицу по формуле (*). Вычислим определитель

Так как |A|= -1≠0, то данная матрица невырожденная. Вычислим алгебраические дополнения

Аналогично находим A₂₁= 4, A₂₂= 5, A₂₃= -6, A₃₁= 3, A₃₂=3, A₃₃= -4. Подставим эти значения в формулу

, получим

.

Вычислим произведение

,

что показывает правильность полученного результата.

Решение №2. Найдём обратную матрицу с помощью элементарных преобразований.

~

Первую и вторую строчки переставим местами

~ ~

Из второй строки вычитаем первую, умноженную на 2

~ ~

Теперь к третьей строке прибавим первую

~ ~

Вторую и третью строки поменяем местами

~ ~

К первой строке прибавим вторую строку

~ ~

Из третьей строки вычитаем вторую, умноженную на 4

~ ~

К первой и второй строкам прибавим третью строку

~ ~

Последнюю строку умножим на (-1)

~ .

Таким образом, обратная матрица имеет вид:

.

Пример 84. Решить матричные уравнения:

а) б) .

а) Решение. Данное матричное уравнение можно записать A·X =B. Решение матричного уравнения имеет вид: X = A^-1·B.

Так как , то матрица А невырожденная. Находим , :X = A^-1·B, .

б) Решение. Матрица вырожденная, так как . Полагаем ; тогда после перемножения матриц и Х получаем:

; .

Сравнивая элементы матриц, приходим к системам уравнений:

Эти системы являются совместными и неопределенными, то есть имеют бесчисленное множество решений. Из первой системы находим ; из второй системы - . Полагаем , , где k и t - произвольные числа, получаем