Примеры для самостоятельного решения.

64. Найти S=2A+3В, если .

65. Найти C=A-5B, если .

66. Найти матрицу C=3A-2B^T, если

.

67. Найти матрицу A+2T=3B, если

.

________________________________________________________________________________

2.2. Умножение матриц.

Произведение матрицы A на матрицу B возможно, если число столбцов матрицы A равно числу строк матрицы B.

.

Произведение матрицы A на матрицу B определяется следующим образом: для того чтобы получить элемент c_ij- матрицы произведения C=A·B, надо элементы i-ой строки матрицы A умножить на соответствующие элементы j- го столбца матрицы B и результаты сложить, то есть

.

Произведение C=A·B содержит столько строк сколько их имеет матрица А и содержит столько столбцов сколько их есть в матрице В.

Если число столбцов матрицы А не равно числу строк матрицы В, то умножать матрицу А на матрицу В нельзя.

Свойства умножения матриц:

1) (A·B)·C = A·(B·C); 2) A·(λB) = (λA)·B=λ·(AB);

3) (A+B)·C = AC+BC; 4) C·(A+B) = CA+CB;

5) A·E = E·A, где - единичная матрица.

6) A·0 =0·A = 0, где-нулевая матрица.

Заметим, что 1) если возможно умножение матрицы А на матрицу В, отсюда не следует возможность умножения матрицы В на матрицу А; 2) если возможно умножение матрицы А на матрицу В и матрицы В на матрицу А, то в общем случае AB≠BA, то есть умножение матриц не обладает перестановочным свойством.

Матрицы, для которых выполняется равенство AB=BA, называются перестановочными.

Произведение матриц обладает следующими свойствами:

1. сочетательным

А(ВС)=(АВ)С;

2. распределительным

(А+В)С=АС+ВС, С(А+В)=СА+СВ,

3. а(АВ)=(аА)В=А(аВ), где а- число, А, В-матрицы;

4. АЕ=ЕА=А, где А-квадратная матрица n-порядка, Е –единичная матрица того же порядка;

5. для транспонирования произведения матриц справедлива формула

;

6. определитель произведения двух квадратных матриц одинакового порядка равен произведению их определителей:

.

Пример 68. Пусть . Найти произведения AB и BA.

Решение. Произведение AB существует так как число столбцов матрицы A равно числу строк матрицы B. Вычислим произведение AB: Сразу заметим, что произведение AB будет содержать одну строку и один столбец.

.

Произведение BA также существует, так как число столбцов матрицы B равно числу строк матрицы A. Произведение BA будет содержать две строки и два столбца.

.

Очевидно, что AB≠BA.

Пример 69. Найти произведения AB и BA матриц

.

Решение. Пусть C=AB. Чтобы найти c₁₁, надо умножить первую строку матрицы A на первый столбец B, элемент c₁₂ получается умножением первой строки A на второй столбец B, элемент c₂₁ получается умножением второй строки A на первый столбец B и т.д.

.

Аналогично

.

В данном случае AB≠BA.

Пример 70. Найти произведения AB данных матриц третьего порядка

.

Решение.

Примеры для самостоятельного решения.

Умножить матрицы

71. , 72. , 73. , 74. ,

75. , 76. ,

77. , 78. .

79. Показать, что матрицы перестановочны

.

80. Показать, что матрицы A и B перестановочны, если

.

81. Найти матрицу C=AB-BA, если

.

________________________________________________________________________________