8.1. Дифференциальные уравнения первого порядка

Дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид

F(x, y, y) = 0.

Если его разрешить относительно y, то можно найти приведенную форму дифференциального уравнения первого порядка

y = f(x, y).

Например, решением уравнения y = 2x является функция у = х², но его решениями также будут функции у = х² - 3, у = х² + и т.д., т.е все возможные решения этого уравнения имеют вид у = х² + С, где С – произвольная постоянная. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция у = (x, С), которая удовлетворяет дифференциальному уравнению при любом значении константы С. Если в процессе решения дифференциального уравнения получаем соотношение вида

Ф(х, у, С) = 0,

т.е. неявное задание функции у, то его называют общим интегралом. Частным решением дифференциального уравнения называется любая функция у = (х, С₀), полученная из общего решения у = (х, С), если произвольной постоянной С придается конкретное значение С = С₀.

Теорема. Если в уравнении y = f(x, y) функции f(x, y) и непрерывны в некоторой области D и точке (х₀, у₀)  D, то существует единственное решение этого уравнения у = (x), такое, что у₀ = (x₀).

Условие, вида: у = у₀ при х = х₀ называется начальным условием (или условием Коши). Если известно общее решение уравнения и начальное условие, то значение С₀ является решением уравнения у₀ = (x₀, С).

8.2. Дифференциальное уравнение с разделенными и разделяющимися переменными

Если для уравнения вида у = f(x, y), правая часть имеет вид f(x, y) = f₁(x)f₂(y), то соответствующее уравнение называется уравнением с разделяющимися переменными и поскольку , то уравнение можно записать в виде уравнения с разделенными переменными.

.

Это уравнение можно рассматривать как равенство двух дифференциалов. Вычислив первообразные правой и левой части

,

получаем общий интеграл F₂(y) = F₁(x) + C.

Пример. Найти частное решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальным условиям х₀ = 2, у₀ = 3.

Решение. Разрешая уравнение относительно у, получим

.

Поскольку , т.е. , f₂(у) = у, то данное уравнение является уравнением с разделяющимися переменными, его можно записать в виде уравнения с разделенными переменными

Проинтегрируем обе части последнего равенства

или

ln|y| = ln|1 + x²| + lnC.

Упрощая, имеем y = C(1 + x²) - общее уравнение. Подставив начальное условие, находим 3 = С(1 + 2²), С = 3/5. Окончательно, искомое частное решение у = 3(1 + х²)/5.

8.3 .Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

Линейным называется дифференциальное уравнение линейное относительно у и у, т.е. его вид

у+Р(х)у=Q(x),

где Q(x) и Р(х)- непрерывные по х функции. Если Q(x)  0, то уравнение у + Р(х)у = 0 называется однородным, если Q(x)  0, то уравнение – неоднородное. Однородные линейные уравнения являются одновременно уравнения с разделяющимися переменными, а неоднородные решают с помощью замены

.

Пример. Найти частное решение уравнения ху + у = 1/(1 + х), при х₀ = 1, у₀ = ln2.

Решение. Разделим обе части равенства на х.

у+ у = ,

т.е. Р(х) = 1/х и Q(x) = . Следовательно, замена имеет вид y = ue^-lnx = u/x. Тогда у= - . Подставив в исходное уравнение, получим

или после упрощения

u= ,

Общее решение исходного уравнения имеет вид

.

Найдем константу С: ln2 = ln|1 + 1| + C, т.е. С = 0. Подставим начальные условия в общее решение, тогда частное решение

.

В некоторых случаях, если точное решение дифференциального уравнения громоздко или трудно определимо, можно найти приближенное решение, используя ряды Тейлора или Маклорена. Проиллюстрируем применение этого метода на примере.

Пример. Найти три ненулевых члена разложения в ряд частного решения уравнения ху + у = 1/(1 + х), х₀ = 1, у₀ = ln2.

Решение. Поскольку х₀ = 1, то полученное разложение будет разложением в ряд Тейлора по степеням (х - х₀), для данного случая – (х - 1).

.

Запишем уравнение в приведенной форме

у = - .

Подставив начальные условия, находим

.

По определению у = (у) = и, используя известные значения х₀, у₀, у₀, получаем у₀ = -3/4 – 1/2 + 2ln2 = -5/4 + 2ln2. Отсюда

у = ln2 + ( - ln2)(х - 1) + (2ln2 - ) +…