6.6. Системы линейных уравнений

Общий вид системы

или в матричной форме: АХ = В, где

, ,

Расширенная матрица системы имеет вид:

_.

Согласно теореме Кронекера-Капелли, для того, чтобы система урав_{нений была совместна, необходимо и достаточно, чтобы r(A) = r(A).}

^{При этом, если r(A) = r(A) = n. где n – число неизвестных, то система имеет единственное решение; если r(A) = r(A) < n, то система имеет бесчисленное множество решений; если r(A)  r(A), то система несовместна.}

6.7. Методы решения систем.

Правило Крамера. Неизвестные х₁ ,х₂ , ….,х_n можно найти по формулам Крамера

,

где D - определитель системы, составленный из коэффициентов при неизвестных системы, а D_к (к = 1, 2, …, n) – определитель , полученный из D заменой k - ого столбца столбцом из свободных членов системы. Система имеет единственное решение, если D ¹ 0.

Матричный метод (метод обратной матрицы). Из записи системы уравнений в матричном виде АХ = В следует, что Х = А^-1В. Суть метода заключается в нахождении обратной матрицы А^-1 и умножении ее на столбец из свободных членов В. Используется для систем уравнений, у которых m = n и detA ¹ 0.

Метод Гаусса. Это метод последовательного исключения неизвестных. Суть метода: с помощью элементарных преобразований строк расширенной матрицы, матрицаА приводится к трапецеидальной форме. Этой матрице ставится в соответствие система, эквивалентная исходной. Решение ее осуществляется снизу вверх (обратный ход метода Гаусса).

Метод Жордана-Гаусса (модификация метода Гаусса). Для упрощения нахождения решений расширенную матрицу данной системы приводят к диагональному виду, исключая неизвестные не только из последующих уравнений, но и из предыдущих.

Пример. Решить систему уравнений тремя способами:

1. методом Крамера;

1. матричным способом;

2. методом Гаусса.

_.

1. Решение системы методом Крамера.

Составим определитель из коэффициентов при неизвестных

D=

Т.к. D = êАê = -34 ¹ 0, то существует единственное решение системы. Найдем определители D₁, D₂, D₃, заменяя в определителе D соответствующий столбец столбцом из свободных членов.

,

Согласно формул Крамера:

2. Решение системы матричным способом.

Из матричного уравнения следует, что Х = А^-1В. Выше было показано, что D = êАê = -34 ¹ 0. Т.к. D ¹ 0, то обратная матрица А^-1 существует. Найдем алгебраические дополнения:

Отсюда

Значит, х₁ = 1, х₂ = -1, х₃ = 4.

3). Решение системы методом Гаусса. Запишем расширенную матрицу системы и приведем ее к трапецеидальной форме с помощью элементарных преобразований матрицы, выполняемых над строками:

Ставим в соответствие этой расширенной матрице систему, эквивалентную исходной и находим ее решение

Таким образом, решение системы: х₁ = 1, х₂ = -1, х₃ = 4.

Для проверки правильности решения подставим полученные значения х₁, х₂, х₃ в исходную систему.

Система решена верно.

Ответ: х₁ = 1, х₂ = -1, х₃ = 4.

3а) Решение системы методом Жордана-Гаусса. Для упрощения нахождения решений системы расширенную матрицу приводят к диагональному виду, исключая неизвестные не только из предыдущих уравнений, но и из последующих.

Таким образом, решение системы: х₁ = 1, х₂ = -1, х₃ = -4.

Пример. Исследовать совместность системы и в случае совместности найти общее решение и частное решение

.

Решение. Выпишем расширенную матрицу системы и будем выполнять элементарные преобразования ее строк

,

r(A) = r(A) = 2 < n = 4, где n - число неизвестных. Т.к. r(A) = r(A), то система совместна, а т.к. ранг меньше числа неизвестных, то система неопределена. Минор , значит его можно принять в качестве базисного минора. Тогда неизвестные, коэффициенты которых входят в этот минор, являются базисными. Таким образом, х₃ и х₄ – базисные неизвестные, а х₁, х₂ – свободные.

Запишем систему уравнений, соответствующую преобразованной расширенной матрице:

Выразим базисные неизвестные х₃ и х₄ через свободные х₁ и х₂

.

Получаем общее решение

.

Придавая свободным неизвестным произвольные числовые значения, например х₁ = 1, х₂ = -2, получим: х₃ = -52/9, х₄ = -22/3. Тогда частное решение системы - (1,-2,-52/9, -22/3).

6.8. n-мерные вектора. Действия над векторами

Упорядоченная совокупность n действительных чисел х₁, х₂,…, х_n, называется n – мерным вектором:

х = (х₁, х₂, …, х_n).

Числа х₁, х₂,…,х_n – координаты вектора. Количество координат определяет размерность вектора. Суммой (разностью) двух векторов  х = (х₁, х₂, …, х_n) и называется вектор вида . Умножение вектора на число к определено так . Множество всех n–мерных векторов, для которых определены операции сложения и умножения на число, называется арифметическим векторным пространством и обозначается Rⁿ.

Скалярным произведением двух n – мерных векторов и называют число, определяемое формулой .