6.3. Основные свойства определителей

1. При транспонировании определителя его величина не изменяется.

2. Если поменять местами любые две строки или два столбца, то определитель изменит свой знак.

3. Если все элементы какой-нибудь строки (столбца) имеют общий множитель, то его можно вынести за знак определителя.

4. Определитель равен нулю, если все элементы какой-нибудь строки (столбца) равны нулю, или имеются две одинаковые или две пропорциональные строки (столбца).

5. Величина определителя не изменится, если к элементам какой-нибудь строки (столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на одно и тоже число.

Из свойств определителей следует, что все строки и столбцы определителя равноправны. Поэтому определитель n - го порядка можно вычислить разложением по любой строке (столбцу). Используя свойство 5, можно преобразовать определитель так, чтобы в выбранной строке (столбце) все элементы, кроме одного, были равны нулю. Тогда вычисление определителя n-го порядка сводится к вычислению единственного определителя (n - 1)-го порядка. Покажем это на примере.

Пример. Вычислить определитель

Решение. При получении нулей в строке (столбце) удобно использовать любой элемент а_ik = ± 1. Разложим определитель по элементам второй строки (здесь есть элемент а₂₃ = 1). Обратим элементы а₂₁, а₂₂, а₂₄, в нули. Для этого все элементы 3-го столбца умножим на (-2) и прибавим к соответствующим элементам 1-го столбца, затем умножим 3-й столбец на (-1) и прибавим ко 2-му, умножив 3- й столбец на (-2), прибавим его к 4-ому.

6.4. Матрица, обратная данной

Матрица А^-1 называется обратной по отношению к матрице А, если

А^-1А = А А^-1 = Е,

где Е- единичная матрица. Для любой квадратной матрицы А, определитель которой отличен от нуля, существует единственная обратная матрица, которую находят по формуле

А^-1 = ,

где А_ik – алгебраические дополнения элементов а_ik , detА - определитель исходной матрицы А.

Пример. Выяснить, существует ли матрица, обратная данной

и если существует, найти ее. Сделать проверку.

Решение. Найдем определитель матрицы А.

Поскольку detА ¹ 0, то существует обратная матрица А^-1. Найдем алгебраические дополнения для каждого элемента А.

А₁₁ = (-1)¹⁺¹ А₁₂ = (-1)¹⁺²

А₁₃ = (-1)¹⁺³ А₂₁ = (-1)²⁺¹

А₂₂ = (-1)²⁺² А₂₃ = (-1)²⁺³

А₃₁ = (-1)³⁺¹ А₃₂ = (-1)³⁺²

А₃₃ = (-1)³⁺³

Тогда

А^-1= .

Проверим, правильно ли найдена матрица А^-1:

AА^-1 =

Проверка показывает, что обратная матрица найдена верно.

6.5. Ранг матрицы

Рангом матрицы называется порядок ее наивысшего минора отличного от нуля. Если ранг матрицы равен r, то это означает, что в матрице А имеется хотя бы один отличный от нуля минор порядка r, но всякий минор порядка, большего чем r равен нулю. Ранг матрицы А обозначают r(А). При определении ранга матрицы приходится вычислять большое число определителей. Чтобы облегчить этот процесс, пользуются элементарными преобразованиями матриц, которые не изменяют ее ранга.

Элементарные преобразования матрицы

1. Перестановка строк (столбцов);

2. Умножение строки (столбца) на число, отличное от нуля;

3. Прибавление к элементам строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца), умноженных на некоторое число;

4. Отбрасывание строк (столбцов), все элементы которых равны нулю.

Пример. Вычислить ранг матрицы, используя определение

Решение. Среди миноров первого порядка есть отличные от нуля, так как матрица не нулевая. Среди миноров второго порядка есть также миноры, отличные от нуля, например стоящий в левом верхнем углу.

Найдем миноры третьего порядка, заключающие минор D:

Минор второго порядка , а все миноры более высоких порядков равны нулю, значит, ранг матрицы r(A) = 2.

Пример. Вычислить ранг матрицы из предыдущего примера с помощью элементарных преобразований.

Решение.

Так как минор второго порядка , а все миноры более высоких порядков равны нулю, то ранг матрицы r(A) = 2.