, , , D = AC - B².

Если D > 0, A > 0, то в точке P₀ функция имеет минимум. Если D > 0, A < 0, то в точке P₀ функция имеет максимум. Если D < 0, то экстремума нет. Если D = 0 - метод не дает ответа.

3. Вычисляем экстремальные значения функции.

Пример. Исследовать на экстремум функцию z = x³ + y³ - 3xy.

Решение. 1) Находим частные производные первого порядка

z^_x = 3x² - 3y; z^_y = 3y² - 3x.

Приравниваем их к нулю и решаем систему уравнений

Получили две критические точки P₁(0, 0), P₂(1,1).

2) Находим частные производные второго порядка:

z^_xx = 6x; z^_xy = -3; z^_yy = 6y.

Вычисляем их значения в каждой критической точке.

Точка P₁(0, 0):

A = 60 = 0 B = -3 C = 60 = 0. D = 00-9 = -9 < 0.

B точке P₁(0, 0) экстремума нет.

Точка P₂(1, 1):

A = 61 = 6 B = -3 C = 61 = 6. D = 66 – 9 = 27.

В точке P₂(1, 1) (A > 0, C > 0, D > 0) - минимум.

3) z_min= 1³ + 1³ - 311 = -1.

Ответ: в точке P(1, 1) функция принимает минимальное значение z_min = -1.

Метод наименьших квадратов. Часто при решении практических задач возникает необходимость установить аналитическую зависимость между двумя величинами, значения которых получены экспериментально. Пусть эти значения сведены в таблицу.

xi	х1	x2	x3	…	xn
yi	y1	y2	y3	…	yn

Наносим точки (x_i, y_i) из таблицы на координатную плоскость. Предположим, что точки расположены вблизи прямой линии y = ax + b.

у





 А(х_i, у_i)





х

Возьмем точку A_i(x_i, y_i). На прямой линии ей соответствует точка В_i(x_i, ax _i + b_i). Разность между ординатами этих точек составляет погрешность [y_i- (ax_i + b)].Сумма квадратов этих погрешностей составляет функцию:

.

Найдем ее минимум. Находим частные производные первого порядка и приравниваем их к 0. После преобразований получаем систему уравнений

относительно a и b. Эта система имеет единственное решение (a, b)и в этой точке функция S(a, b) имеет минимум.

Пример. Полученные из опыта значения двух переменных x, y приведены в таблице

xi	1	2	3	4	5
yi	1,9	7,1	11,8	17,2	21,9

Построив точки на координатной плоскости, видим, что они расположены вблизи прямой линии. Уравнение прямой y = ax + b. Составляем расчетную таблицу

i	xi	yi	xi2	xiyi
1	1	1,9	1	1,9
2	2	7,1	4	14,2
3	3	11,8	9	35,4
4	4	17,2	16	69,2
5	5	21,9	25	109,5
	15	60,0	55	230,2

Получаем систему:

Решив ее, находим а = 5,05, b = -3,15. Уравнение искомой прямой y = 5,05x - 3,15.

6. Линейная алгебра

6.1. Матрицы

Система элементов (чисел, функций) расположенных в виде прямоугольной таблицы, состоящей из m строк и n столбцов, называется прямоугольной матрицей размерности m ´ n:

А= ,

где a_ij –элементы матрицы (i = 1, 2,…, m; j = 1, 2, …, n). Сокращенная запись матрицы: A = (a_ij)_mn. Если m = n, то матрица называется квадратной. В этом случае число m = n называют ее порядком. В квадратной матрице n-го порядка диагональ, состоящая из элементов a₁₁, a₂₂ ,…, a_nn называется главной диагональю. Если в квадратной матрице все элементы, стоящие на главной диагонали, равны единице, а остальные элементы равны нулю, то такая матрица называется единичной и обозначается Е. Например, единичная матрица четвертого порядка имеет вид

Две матрицы A = (a_ij)_mn и В = (b_ij)_mn одинаковой размерности называются равными, если равны элементы, стоящие на одинаковых местах этих матриц. Над матрицами можно выполнять действия: сложение (вычитание), умножение на число, умножение двух матриц, транспонирование.

Суммой (разностью) двух матриц A = (a_ij)_mn. и В = (b_ij)_mn. одинаковой размерности называется матрица С, элементы которой определяются равенством

с_ij = a_ij ± b_ij (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n).

Обозначение: А ± В = С.

Произведением матрицы A = (a_ij) _mn на число к называется матрица, у которой каждый элемент равен произведению соответствующего элемента матрицы А на число к:

Aк = к(a_ij)_mn = (кa_ij) _mn (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n).

Произведением АВ матрицы A = (a_ij)_mn на матрицу В = (b_ij)_{n k} называется матрица C = (c_ij)_mk, где элемент c_ij равен сумме произведений элементов i-ой стороки матрицы А на соответствующие элементы j-го столбца матрицы В, т.е.

c_ij = (a_i1, a_i2 , … , a_in)(b_1j, b_2j, … , b_nj) = a_i1b_1j+ a_i2b_2j+… + a_inb_nj.

(i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n).

Произведение матрицы А на матрицу В определено только в том случае, когда число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В. Матрица, полученная из матрицы А заменой всех строк соответствующими по номеру столбцами, называется транспонированной по отношению к А и обозначается А^Т, т.е.

Пример. Даны матрицы

,

Найти А + С; 2А.

Решение. Так как при сложении матриц складываются соответствующие элементы, то

А + В = + = _.

При умножении матрицы на число нужно каждый элемент матрицы умножить на это число:

_.

Пример. Даны матрицы

_.

Найти произведение АВ.

Решение. Размерность матрицы А – (3х4), а матрицы В – (4х2) ,т.е. число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В, следовательно АВ существует. Заметим, что так как число столбцов матрицы В не равно числу строк матрицы А, то ВА не существует.

.

6.2. Определители

Определителем n-го порядка (n ³ 2) называется число, обозначаемое

и равное алгебраической сумме n! членов, каждый из которых равен произведению n элементов, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца.

Минором M_ik элемента а_ik, определителя n - го порядка называется определитель (n - 1) - го порядка, получающийся из данного определителя в результате вычеркивания i-й строки и j-го столбца, на пересечении которых стоит данный элемент. Алгебраическим дополнением А_1j элемента а_ik, определителя называется число А_ik = (-1)^i+kM_ik,. Определитель n - го порядка (n ³ 2) вычисляют разложением по элементам первой строки по формуле

где а_1i (i = 1, …, n) – элементы первой строки, А_1j (i = 1, …, n) - алгебраические дополнения этих элементов. Если n = 2, то имеем определитель второго порядка

При n = 3 получим определитель 3-го порядка

,

каждый член которого равен произведению трех элементов, взятых по одному из каждого столбца и каждой строки; число членов равно n! = 123 = 6. Определитель 3-го порядка можно вычислить по треугольной схеме (правило Саррюса). Если соединить линией каждые три элемента определителя (по одному из каждой строки и каждого столбца), то получим легко запоминающуюся схему

 =

Пример. Вычислить определитель

_.

Решение. Вычислим определитель по правилу Саррюса: