3. Схема вычисления производной

Производная функции y = f(x) может быть найдена по следующей схеме:

1) Дадим аргументу х приращение х  0 , х + х.

2) Найдем значение функции f(x + х).

3) Находим приращение функции у = f(x + х) - f(x).

4) Составляем отношение .

5) Находим предел этого отношения при х  0, т.е. (если этот предел существует).

Пример 1. Найти производную функции у = х³, используя определение.

Решение:

1) х+х, 2) f(x + х) = (x + х)³ = х³ + 3х²х + 3хх² + х³;

3) у = f(x + х) - f(x) = х³ + 3х²х + 3хх² + х³ - х³ = 3х²х + 3хх² + х³.

4) = 3х² + 3хх + х².

5) (3х² + 3хх + х²) = 3х² + 3хх + х² = 3х² +0 +0 = 3х².

Можно доказать, что для любого (не только натурального) n имеем формулу производной степенной функции - . Полезно знать частные случаи этой формулы при n = и n = -1.

; .

Используя определение производной функции можно вывести формулы для дифференцирования основных элементарных функций. Ниже приведены некоторые элементарные функции и их производные.

Название функции	Алгебраическая формула	Производная функции
Степенная
Показательная
Логарифмическая
Тригонометрические
Обратные тригонометрические

Лекция 2. Основные правила дифференцирования

Производная сложной функции.

1. Основные правила дифференцирования

1. Производная постоянной величины равна нулю, т.е. .

2. Производная аргумента равна 1, т.е. .

Пусть u = u(x) и v = v(x) дифференцируемые функции, тогда:

3. Производная алгебраической суммы конечного числа дифференцируемых функций равна такой же сумме производных этих функций, т. е. .

4. Производная произведения двух дифференцируемых функций равна произведению производной первого сомножителя на второй плюс произведение первого сомножителя на производную второго, т.е.

.

Следствие 1. Постоянный множитель можно выносить за знак производной: .

Следствие 2. Производная произведения нескольких дифференцируемых функций равна сумме произведений каждого из сомножителей на все остальные

.

5. Производная частного двух дифференцируемых функций может быть найдена по формуле

,

Пример 1. Найти производную функции y = f(x) и вычислить ее значение в точке х = 1:

а) ; б) ; в) .

Решение: а) ,

.

б) , применим правило дифференцирования произведения двух функций и формулы для степенных функций и . Получаем:

= = = = = .

в) , применим правило дифференцирования частного двух функций и формулы для степенных функций и . Получаем:

=

= .

Пример 2. Составить уравнение касательной к кривой в точке х = 1.

Решение: используя геометрический смысл касательной, запишем уравнение касательной в виде: . Для этого найдем производную функции и её значение в точке х₀ = 1.

, . А также необходимо найти . Найденные значения подставляем в формулу: , или .

Ответ: уравнение касательной к графику функции в точке имеет вид .