33

Лекция 1. Понятие производной. Основные правила

дифференцирования

1 Задачи, приводящие к понятию производной

1.1 Задача о касательной

Пусть на плоскости Oxy дана непрерывная кривая y = f(x) и необходимо найти уравнение касательной к этой кривой в точке M₀(x₀;y₀).

Пусть M₀M₁ – секущая, . Под касательной к кривой y = f(x) в точке M₀ естественно понимать предельное положение секущей M₀M₁ при приближении точки M₁ к точке M₀, т.е. при х0.

Уравнение прямой, проходящей через точку M₀, в соответствии с формулой уравнения прямой, проходящей через точку M₀:

, .

Из M₀M₁N имеем при приближении точки M₁ к точке M₀, что . Значит угловой коэффициент касательной .

Таким образом, уравнение касательной можно записать так:

, где .

1.2 Задача о скорости движения

Пусть вдоль некоторой оси движения точка по закону S = S(t), где S – пройденный путь, t – время, и необходимо найти скорость точки в момент t₀.

К моменту времени t₀ пройденный путь равен S₀= S(t₀), а к моменту (t₀+t) - путь S₀+S = S(t₀+t).

Тогда за промежуток t средняя скорость будет . Чем меньше t, тем лучше средняя скорость характеризует движение точки в момент t₀. Поэтому под скоростью точки в момент t₀ естественно понимать предел средней скорости за промежуток от t₀ до t₀+t, тогда t0, т.е.

.

3.1 Задача о производительности труда

Пусть функция U = U(t) выражает количество произведенной продукции U за время t и необходимо найти производительность труда в момент t₀.

За период времени от t₀ до t₀+t количество произведенной продукции изменяется от значения U₀ = U(t₀) до значения U₀+U = U(t₀+t); тогда средняя производительность труда за этот период времени . Очевидно, что производительность труда в момент времени t₀ можно определить как предельное значение средней производительности за период времени от t₀ до t₀+t при t0, т.е.

.

Рассматривая три различные по характеру задачи, мы пришли к пределу одного вида. Этот предел играет очень важную роль в математическом анализе, являясь основным понятием дифференциального исчисления.

2 Определение производной

Определение 2.1 Пусть функция y = f(x) определена в некоторой окрестности точки х₀. Предел отношения приращения у функции в этой точке (если он существует) к приращению х аргумента, когда х  0, называется производной функции f(x) в точке х₀.

Обозначения: или

.

Вычисление производной называется дифференцированием функции.

Если функция в точке х имеет конечную производную, то функция называется дифференцируемой в этой очке. Функция, дифференцируемая во всех точках промежутка Х, называется дифференцируемой на этом промежутке.

Из задачи о касательной вытекает геометрический смысл производной: производная есть угловой коэффициент касательной (тангенс угла наклона), проведенной к кривой y = f(x) в точке х₀, т.е. .

Тогда уравнение касательной к кривой y = f(x) в точке M(х₀, f(x₀)) примет вид

или .

Уравнение нормали (перпендикуляра) к кривой y = f(x) в точке M(х₀, f(x₀)) имеет вид:

.

Из задачи о скорости движения следует механический смысл производной: производная пути по времени есть скорость точки в момент : , а производная скорости по времени есть ускорение точки в момент : .

Из задачи о производительности труда следует, что производная объема произведенной продукции по времени есть производительность труда в момент .