1.4. Потоковая прогонка.

Этот вариант прогонки был разработан для решения задач с сильно меняющимися от точки к точке коэффициентами.

В теории фильтрации и на практике всегда имеет место фациальная изменчивость пласта. Это ведет к неоднородности пласта по коллекторским свойствам, которые могут быть весьма значительными.

Сильно меняющиеся коэффициенты появляются в тепловых задачах, когда могут иметь место адиабатические участки, где теплопроводность отсутствует, или изотермические, где теплопроводность бесконечно велика.

В магнитной гидродинамике соответственно, идеально проводящие и неэлектропроводные участки.

При решении дифференциальных уравнений параболического типа обычными методами прогонки может в этих случаях возникать значительная потеря точности. Избавиться от этого недостатка удается путем перехода к так называемому потоковому варианту метода прогонки [27].

Рассмотрим краевую задачу (1.3.5), (1.3.6), (1.3.7), которая равносильна разностной краевой задаче (1.3.9), (1.3.10) предыдущей части, т.е.

(1.4.1) (1.4.2)

Где

(1.4.3)

Формулы обычной прогонки для (1.4.1), (1.4.2) с учетом (1.4.3) принимают вид:

, (i=0,1,2…n-1)

(1.4.4)

Введем новую неизвестную разностную функцию (поток) по формуле

(1.4.5)

И перепишем (1.4.1) и краевые условия (1.4.2) в виде

(1.4.6) (1.4.7а) (1.4.7б)

Подставляя значение из (1.4.5) в первое уравнение (1.4.4) получим

(1.4.8)

Вводя обозначения ;

перепишем (1.4.8) следующим образом

(1.4.9)

Исключая из (1.4.6) и (1.4.9), получим

(1.4.10)

(i =n-1,…,2,1)

Для определения и напишем рекуррентные соотношения

, или

(1.4.11)

( i=1,2,…,n-1)

или

(1.4.12)

( i=1,2,…,n-1)

При соблюдении условий (1.4.3) из (1.4.11) следует, что . Тогда коэффициент в формуле (1.4.10) всегда меньше единицы, что обеспечивает устойчивость при вычислении .

Из сравнения первого краевого условия (1.4.7a) c (1.4.9) при I=1 находим

(1.4.13)

Для определения P воспользуемся следующими формулами

a

(1.4.14)

(1.4.15)

Из (1.4.14) и (1.4.15) видно, что прогонка устойчива. Для счета по формулам (1.4.10), (1.4.14) и (1.4.15) нужно знать величины и P _n. Они могут быть определены из второго краевого условия (1.4.7б) и соотношения (1.4.9) при i =n, при a <1

P

(1.4.16)

и при a

P

(1.4.17)

Из (1.4.3) следует, что знаменатели формул (1.4,16), (1.4.16а) всегда больше нуля.

Итак, алгоритм потоковой прогонки следующий:

1.)Вычисляем и по формулам (1.4.13)

2.) Для i=1,2…n-1 последовательно находим β_i+1 по формуле (1.4.11) (первая часть a_i < 1, вторая часть a_i  1) и _i+1 по формуле (1.4.12) (первая часть a_i < 1, вторая часть a_i  1)

3.) Определяем P_n и W_n по формулам (1.4.16), если a_i < 1 и по формулам (1.4.16a), если a_n-1 1

4) Для i = n-1,…1, вычисляем W_i по формуле (1.4.10) и P_i по формуле (1.4.14) при a_i1 и по формуле (1.4.15) при a_i < 1

Замечание. Выше были приведены формулы для вычисления не только функции P_i , но и потока W_i. При больших значениях a_i вычисление потока по формуле W_i=a_i-1(P_i-1 - P_i) приводит к существенной потере точности. Это и послужило одной из причин введения потока W_i в качестве дополнительно искомой функции и вычисления её по формуле (1.4.10).