Или пренебрегая величинами , имеем для

(1.1.7)

Разобьём интервал времени [O,T] на k- равных интервалов, тогда шаг по времени . Для временной производной функции f будем иметь, очевидно, с использованием ряда Тейлора (1.1.1), следующее выражение:

(1.1.8)

Где j – соответствует временному слою , а j+1 временному слою (j+1)Δt

Можно получить боле точное выражение первой производной по времени через конечные разности.

Запишем значение функции и через её значения в точке j+1 с использованием (1.1.1).

(а)

(б)

Умножив (а) на 4 и вычитая из (б), получим для

(1.1.9)

Т.е. с точностью до , если отбросим остаточные члены о ( ) в выражении (1.1.9).

Сравнивая (1.1.5) с (1.1.6) или (1.1.8) с (1.1.9) мы можем убедиться, что повышение точности аппроксимации достигается ценой привлечения дополнительных узлов сетки. В принципе такой процесс повышения порядка аппроксимации можно продолжать и далее и получить любой порядок аппроксимации, но при этом число используемых узлов возрастает. Это ведет к тому, что усложняется процесс вычисления, иногда теряется устойчивость и т.д.

Способы написания разностных операторов повышенной точности достаточно подробно описаны в ряде работ. Например, см. Саульев В.К. “Интегрирование уравнений параболического типа методом сеток” [25].

1.2.Уравнения типа уравнения теплопроводности и фильтрации.

1.2.1. Рассмотрим представление в конечно – разностной форме одномерного （一维）дифференциального уравнения параболического（抛物线）типа

; ,

(1.2.1)

которое описывает фильтрацию сжимаемой（压缩）жидкости (аналогично уравнению теплопроводности热传导性)

Используя уравнения (1.1.5) и (1.1.7) предыдущего раздела имеем выражение

(1.2.2)

Здесь - погрешность（误差，修正量） аппроксимации исходного дифференциального уравнения (1.2.1) конечно – разностным уравнением. Принимается, что

В уравнении (1.2.2) левую часть можно рассматривать на различных временных уровнях: либо на слое jt и тогда имеем уравнение

(1.2.3)

либо на временном слое (j+1) t и тогда уравнение (1.2.2) имеет вид

(1.2.4)

При записи этих уравнений пренебрегается величиной

В уравнении (1.2.3) имеется лишь одна неизвестная величина (Считается, что все величины на временном слое известны). Такое уравнение называется явным сеточным уравнением.

Уравнение (1.2.4), где имеются три неизвестные величины , , называется неявным.

Применяя последовательно уравнение (1.2.3) к каждой точке i сеточной области (с учетом граничных условий), можно получить искомое решение на временном слое и т.д. Таким образом, оно позволяет явным образом находить решение задачи в каждый момент времени .

Записывая неявное уравнение (1.2.4) для точек , получаем систему из (n-1) уравнения с (n+1) неизвестным. Граничные условия в точках i=0 и i=n дают еще два условия. Следовательно, чтобы решить задачу на временном слое , требуется решить систему (n+1) уравнения с (n+1) неизвестным.

Таким образом, использование численных методов сводит интегрирование дифференциального уравнения в частных производных (1.2.1) и соответствующих краевых условий к чисто алгебраической задаче.

1.2.2 . Использование сеточных методов для решения краевых（边缘的，低于最大限度的） задач приводит к рассмотрению вопросов сходимости收敛性 и устойчивости 稳定性их.

Необходимость рассмотрения сходимости и устойчивости сеточных методов связана:

1) с погрешностью误差 аппроксимации近似值 дифференциальных уравнений и соответствующих相关的краевых 边缘условий конечно-разностными уравнениями;

2) с погрешностью решения на каждом временном слое .

Если сеточный метод, дает такое решение, которое при изменении шагов ∆x и ∆t (при , ) (причем , т.е. пространственные（空间的） приращения（增量）стремятся к нулю по определенной зависимости от временного приращения ∆t, когда последнее стремится 趋向к нулю), стремится к точному решению задачи, то такой метод называется сходящимся, а конечно-разностное уравнение согласуется с соответствующими дифференциальным уравнением в частных производных.

Если сеточный метод дает такое решение, что при увеличении числа просчитанных шагов по времени j погрешность вычислений (из-за ошибок округления) стремится к нулю, или хотя бы не возрастает (остается ограниченной), то метод называется устойчивым.

Необходимо заметить, что устойчивость в смысле изложенного выше определения не опирается на дифференциальное уравнение, подлежащее численному интегрированию, а является свойством исключительно системы разностных уравнений.

1.2.3.1. Если рассматривать разностные методы решения дифференциальных уравнений с точки зрения линейных операторов в векторном пространстве, то всякое решение на временном слое , можно выразить через решение на временном слое , применив к последнему, оператор（算子）, называемый матрицей (множителем) перехода от одного временного слоя к другому. При этом устойчивость（稳定性） требует, чтобы, матрица（矩阵） перехода была равномерно ограниченной.

Необходимым условием устойчивости по Нейману является условие, что , при ; и всех , где – сетка пространства, – радиус спектра матрицы [22].

Пусть , тогда , и в частности . Для из интервала величина ограничена линейным выражением . Отсюда получаем условие:

max , (a)

при , -порядок (число всех слоев по и всех ).

При этом , а - собственное значение матрицы перехода .

В простейшей задаче теплопроводности (1.2.1) условия устойчивости имеет вид

(б)

В некоторых случаях бывает так, что компоненты точного решения с ростом времени возрастают экспоненциально. В таких случаях следует употреблять условие (а) как более общее, допускающее экспоненциальный рост компонент решения.

1.2.3.2. Собственное значение матрицы перехода связано с соотношением величин шагов и

В случае явного уравнения (1.2.3) решение является устойчивым, если существует следующее соотношение между пространственными и временными шагами:

(1.2.5)

В случае неявного разностного уравнения (1.2.4) никаких ограничений на величины шагов и не накладываются, т. е. говорят, что уравнение (1.2.4) абсолютно устойчиво.

1.2.4. Однако это не означает, что при пользовании неявным методом допустимы любые шаги на осях x и t.

Здесь мы сталкиваемся с понятием ошибки аппроксимации.

Действительно, вычтем из (1.2.1) (1.2.2) и получим после преобразования выражение:

(1.2.6)

Выражение в правой части уравнения (1.2.6) называется ошибкой (погрешностью) аппроксимации рассматриваемой схемы (1.2.2). Из (1.2.6) видно, что увеличение шагов по времени и пространству увеличивает ошибку аппроксимации.

1.2.5. Если является точным решением дифференциального уравнения, то величина, стоящая в скобках в уравнении (1.2.6), обращается в нуль. Кроме того, членами порядка t и (x)² являются, согласно формуле Тейлора

(1.2.7)

Т.к. величина давления удовлетворяет уравнению (1.2.1), то она также удовлетворяет и дифференциальному уравнению:

(1.2.8)

и главным членом в правой части (1.2.6) будет:

Если, при этом, t и x связаны между собой соотношением

, (1.2.9)

то главный член правой части уравнения (1.2.6) обращается в нуль. Погрешность аппроксимации в этом случае становится и

1.2.6. Использование явного сеточного уравнения (1.2.3) возможно в том случае, если соблюдается условие (1.2.5). Это ограничение на шаг по времени оказывается очень жёстким. Для соблюдения условия устойчивости шаг t приходится брать очень малым. Это увеличивает общее число шагов по времени, а, следовательно, и общий объём вычислительных работ. В связи с этим, несмотря на достаточную простоту явного сеточного метода, его использование на практике весьма ограничено.

При неявном сеточном методе прямых ограничений на величины шагов во времени и пространству не имеется. Однако для получения заданной степени точности решения задачи приходится уделять определённое внимание выбору шагов по времени и пространству.

Выбор шага по пространственной переменной на практике часто осуществляется экспериментальным путём. Для этого на ЭВМ проводятся вычисления с некоторыми шагами x. Затем вычисления проводятся с шагом x/2. Если оказывается, что решения отличаются на величину меньшую заданной погрешности , то шаг x считается незавышенным для достижения заданной точности. В противном случае делается просчёт с меньшим шагом, x/4 и т.д.

Иногда пространственную координату удаётся преобразовать таким образом, что искомое решение в новых координатах представляет собой зависимость близкую к прямолинейной. В этом случае формула для аппроксимации второй производной в преобразованных координатах имеет остаточный член порядка , где , вследствие малости значений производных высшего порядка. Это означает, что в преобразованных координатах использование одной и той же формулы дает меньшую погрешность. Отсюда, можно использовать более крупные шаги по пространству.

Например, замена обычных координат в осе симметричном случае на логарифмические.

Очевидно, что чем сильнее изменяется искомая функция по координате, тем меньше шаг требуется для получения заданной точности. Известно, что дифференциальное уравнение параболического типа имеет такое решение, для какой либо точки пространства, что искомая функция вначале быстро изменяется, а затем это изменение происходит по почти прямой линии. Отсюда следует, что расчеты целесообразно проводить с возрастающем шагом по времени.

Один из алгоритмов увеличения шага по времени таков. Рассчитываются с малым начальным шагом t по времени 2 временных шага. Затем с шагом просчитывается один шаг по времени. Полученные два решения на момент времени сопоставляются. Если эти решения различаются на величину большую, чем заданная погрешность , то дальнейший счет ведется с шагом . В противном случае расчет ведется с шагом и т.д.

Для задач, описываемых дифференциальными уравнениями параболического типа, часто удается применить балансовые соотношения, например уравнение материального баланса для газовой залежи. Наличие подобного соотношения позволяет при проведении численных расчетов судить о правильности составления программы и дает представление о величине интегральной ошибки, получаемой в результате расчетов.

Следует отметить, что высказанные выше соображения относительно устойчивости разностных уравнений относятся к уравнениям линейным, с постоянными коэффициентами. Если коэффициенты разностных уравнений становится переменными во времени, то исследовать эти разностные уравнения на устойчивость и сходимость не представляется возможным. Поэтому в этих случаях большое значение приобретает машинный эксперимент и интуитивные соображения программиста.

1.2.7. В заключении приведем ряд конечно-разностных схем применительно к уравнению (1.2.1)

,  = const > 0

Таблица 1

	Мнемонические схемы			Разностные уравнения и погрешность аппроксимации
		1			Явная схема устойчива, если
		2			Неявная схема всегда устойчива
		3			Частный случай 1
		4			Неявная схема всегда устойчива
		5			при устойчива, если , при всегда устойчива.
		6			Разностное уравнение такое же как в случае 5,но , схема устойчива.
		7			- схема всегда неустойчива.
		8			Схема всегда устойчива.
		9			Схема всегда устойчива.
		10			Схема всегда устойчива, включает случаи 3 и 9.
		11			Разностное уравнение как в случае 10, но Схема всегда устойчива
		1 2			Схема всегда устойчива
		13
		14			Если , то имеем обобщение схемы 12 (например) Схема устойчива.