Примеры решения задач.

Задача 8. Найти производную функции

.

Решение. Данная функция сложная и она может быть представлена в виде y = u, где

.

По правилу дифференцирования сложной функции . Для данной функции имеем

.

Используя формулы и , а также правила дифференцирования степенной функции и суммы функций, получаем

= .

Задача 9. Найти производную функции

.

Решение. По правилу дифференцирования частного

.

Используя далее формулы и , получаем

.

Задача 10. Найти производную функции

.

Решение. В данном случае целесообразно вначале упростить данное выражение, используя свойства логарифмов

=

.

Далее, пользуясь правилами дифференцирования и таблицей производных, получаем

=

=

.

Задача 11. Найти производную функции

.

Решение. Последовательно применяя правило дифференцирования сложной функции, получим

=

= .

Задача 12. Найти производную функции

.

Решение. В данном случае функциональная зависимость задана в неявном виде. Для нахождения у нужно продифференцировать по переменной х обе части уравнения, считая при этом у функцией от х, а затем полученное уравнение решить относительно у.

, ,

,

,

,

.

Задача 13. Исследовать функцию и построить ее график.

Решение. Исследование функции предусматривает нахождение области определения, точек экстремума и интервалов возрастания и убывания, а также точек перегиба и интервалов выпуклости и вогнутости графиков функции.

1. Находим область определения функции.

Выражение имеет смысл при любом действительном значении аргумента х, следовательно, областью определения функции является множество действительных чисел .

2. Находим первую производную заданной функции:

или .

3. Критическими точками функции называются точки, в которых производная равна нулю или не существует. Найдем их.

, т. е. или , откуда и .

Других критических точек нет.

Обращение производной функции в нуль или ее отсутствие в точках, где функция определена, есть лишь необходимое условие существования экстремума функции в этих точках.

Достаточным условием существования экстремума функции в критической точке является изменение знака производной первого порядка при переходе через эту точку. В частности, если производная меняет знак с плюса на минус, то в критической точке функция имеет максимум. Если же при переходе через критическую точку производная меняет знак с минуса на плюс, то в этой точке функция имеет минимум.

Определим, являются ли точки и точками экстремума. Они разбивают всю числовую ось на три промежутка, в которых определим знак производной с помощью «пробной» точки.

В интервале (–∞; 1) возьмем точку х = 0. Тогда

• •

1 5 х

Рис. 5.

.

В интервале (1; 5) возьмем точку х = 2. Имеем

.

В интервале (5; ∞) – точку х = 6. В этом случае

.

Итак, в точке х = 1 мы имеем максимум данной функции, а в точке х = 5 – минимум. Найдем значение функции в точках экстремума:

у_max = y(1) = (1³ – 9∙1² + 15∙1 – 3) = 1.

у_min = у(5) = (5³ – 9∙5² + 15∙5 – 3) = – 7.

5. Если производная функции положительна внутри некоторого промежутка, то функция возрастает на этом промежутке. Если же производная отрицательна внутри некоторого промежутка, то функция убывает на этом промежутке.

Итак, данная функция возрастает на промежутках (–∞; 1) и (5; ∞), а убывает на промежутке (1; 5).Результат исследований п. 4 и п. 5 удобно представить в виде схемы.

+ – +

• •

1 5 х

max min

Рис. 6.

6. Найдем вторую производную у″(х) данной функции

у″(х) = (3х² – 18х + 15)′ = (6х – 18).

Найдем точки, в которых вторая производная функции равна нулю

(6х - 18) = 0, откуда х = 3.

Точка х = 3 разбивает всю числовую ось на два интервала (–∞; 3) и (3; ∞). В интервале (–∞; 3) возьмем, например, точку х = 0 и определим в ней знак второй производной:

у″(0) = (6∙0 – 18) = < 0.

В интервале (3; ∞) возьмем, например, точку х = 4, тогда

у″(4) = (6∙4 – 18) = > 0.

Если вторая производная f″(х) положительна внутри некоторого промежутка, то график этой функции на этом промежутке вогнут вверх (или выпукл вниз). Если же вторая производная f″(х) внутри некоторого промежутка отрицательна, то график функции на этом промежутке вогнут вниз (или выпукл вверх).

На интервале (-∞; 3) график данной функции вогнут вниз, а на промежутке (3; ∞) вогнут вверх.

7. Если вторая производная f″(х) в некоторой точке х₀ обращается в нуль и при переходе через эту точку меняет знак, то точка является точкой перегиба графика функции . Итак, х = 3 – абсцисса точки перегиба. Найдем ее ординату

у(3) = (3³ – 9∙3² + 15∙3 – 3) = (–12 ) = -3.

Таким образом, точка (3; -3) - точка перегиба графика функции.

8. Строим график функции: у = (х³ – 9х² + 15х – 3) (рис.7).

1

-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7

-2

-3

-4

-6

-7

Рис. 7.

Задача 14. Из квадратного листа жести со стороной a требуется изготовить открытую сверху коробку, вырезая по углам листа равные квадраты и загибая оставшиеся боковые полосы под прямым углом. Каковы должны быть стороны вырезаемых квадратов, чтобы вместимость коробки была наибольшей?

Решение. Обозначим сторону вырезаемого квадрата за х. (Рис. 8).

х х

Рис. 8.

По условию задачи х удовлетворяет неравенству 0 < х < . Основанием получившейся коробки будет квадрат со стороной а – 2х, высота коробки будет равна х.

V(x) = a² – 8ax + 12x², a² – 8ax + 12x² = 0, откуда

, .

Второй корень не удовлетворяет неравенству 0 < х < , следовательно сторона вырезаемого квадрата будет равна одной шестой части стороны данного листа жести, объем коробки будет наибольшим.

Вопросы для самопроверки

1. Дайте определение производной функции.

2. Каков геометрический смысл производной?

3. В чем заключается физический смысл производной?

4. Сформулируйте правила дифференцирования суммы, произведения, частного.

5. Приведите формулы дифференцирования основных функций.

6. Сформулируйте правило дифференцирования сложной функции.

7. Что называется дифференциалом функции? Каков его геометрический смысл?

8. Что называется производной второго порядка? Каков физический смысл производной второго порядка?

9. Сформулируйте признаки возрастания (убывания) функции в данном промежутке.

10. Какие точки называются критическими? Как найти эти точки?

11. Сформулируйте необходимые условия существования экстремума функции.

12. Сформулируйте достаточные признаки существования экстремума функции.

13. Дайте определение выпуклости, вогнутости кривой.

14. Что называется точкой перегиба графика функции?

15. Какова схема исследования функции на экстремум с помощью первой производной?