Тема 2. Введение в математический анализ
Литература
1.Демидович Б.П., Кудрявцев В.А., Краткий курс высшей математики. М. Астрель-АСТ. 2001. Гл. VII.
2. Баврин И.И., Матросов В.Л. Высшая математика. М. Владос. 2002. Гл. 7.
3. Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике. М. Айрис Пресс. 2000. Ч. 1. Гл. V.
Примеры решения задач
Задача 2. Найти предел функции
.
Решение.
При непосредственной подстановке
предельного значения х = 3, получаем
неопределенность
.
Для раскрытия неопределенности сократим
дробь
предварительно разложив на множители
числитель и знаменатель дроби.
=
=
=
.
Задача 3. Найти предел функции
.
Решение.
При непосредственной подстановке
предельного значения х
= 3, получаем неопределенность
.
Для раскрытия неопределенности умножим
числитель и знаменатель дроби
на выражение, сопряженное числителю
.
Такое преобразование даст возможность
сократить дробь на множитель х–3,
отличный от нуля при х
3.
=
=
=
=
=
=
.
Задача 4. Найти предел функции
.
Решение.
Так как при х
не существуют пределы числителя и
знаменателя дроби
,
то получаем неопределенность вида
.
Для раскрытия этой неопределенности
разделим почленно числитель и знаменатель
на старшую степень переменной, то есть
на х2,
а затем применим теоремы о пределах.
=
=
=
=
=
.
Задача 6. Найти предел функции
.
Решение.
При непосредственной подстановке
предельного значения х
= 0, получаем неопределенность
.
Для раскрытия неопределенности используем
первый замечательный предел
,
или, в другой форме,
.
=
=
=
=
.
Задача 7. Найти предел функции
.
Решение. Для нахождения предела воспользуемся вторым замечательным пределом
.
Положим
,
тогда
,
при этом, если
,
то
.
Получим
=
=
=
.
Вопросы для самопроверки
1. Сформулируйте определение функции одной независимой переменной.
2. Что называется областью определения функции? Областью значений функции?
3.Какая функция называется возрастающей? Убывающей?
4. Дайте определение максимума и минимума функции.
5. Какая функция называется четной? Нечетной?
6. Какая функция называется периодической?
7. Какая функция называется сложной?
8. Дайте определение, сформулируйте основные свойства, начертите графики основных элементарных функций.
9. Что называется числовой последовательностью?
10. Что называется пределом числовой последовательности?
11. Сформулируйте основные теоремы о пределах.
12. Какая переменная величина называется бесконечно большой? Бесконечно малой? Какая связь между ними?
13. Что представляет собой первый замечательный предел?
14. Что представляет собой второй замечательный предел?
15. Дайте определение непрерывности функции в точке, в интервале.
16. Какая точка называется точкой разрыва функции?
Тема 3. Производная функции и ее приложения
Литература
1.Демидович Б.П., Кудрявцев В.А., Краткий курс высшей математики. М. Астрель-АСТ. 2001. Гл. IX-XI.
2. Баврин И.И., Матросов В.Л. Высшая математика. М. Владос. 2002. Гл. 8.
3. Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике. М. Айрис Пресс. 2000. Ч. 1. Гл. V.