Министерство сельского хозяйства Российской Федерации

Федеральное бюджетное государственное образовательное

учреждение высшего профессионального образования

«Ярославская государственная сельскохозяйственная академия»

Кафедра математики и информационных технологий

К.А.Зиновьев, Е.С. Рогозина, А.З. Скопец, Л.П. Щипина

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

по выполнению контрольной работы по дисциплине «Математика»

для студентов 1 курса инженерного факультета заочной формы обучения

МАТЕМАТИКА

Ярославль

2011

Порядок выполнения контрольных работ

К выполнению каждой контрольной работы следует приступать только после изучения соответствующего материала в учебной литературе, список которой дан в каждой главе, и примеров решений задач, приведенных в данном пособии. Можно также использовать ресурсы сети Internet.

При этом необходимо руководствоваться следующими указаниями:

1. Контрольную работу следует выполнять в отдельной тетради, на обложке которой должны быть указаны фамилия и инициалы студента, полный шифр, номер контрольной работы и дата её отправки в академию. Решения всех задач и пояснения к ним должны быть достаточно подробными. Все вычисления необходимо делать полностью, чертежи должны быть выполнены аккуратно и четко, с указанием координатных осей, единиц масштаба и других элементов.

2. Студент выполняет вариант контрольной работы, совпадающий с последней цифрой номера его зачетной книжки. Например, если номер зачетной книжки студента 02076, то он решает все задачи шестого варианта. Номера задач указаны в таблице 1.

3. Незачтённая работа возвращается студенту, который должен в кратчайший срок выполнить все требования рецензента и представить ее на повторное рецензирование вместе с первоначальным текстом.

Таблица 1 – Распределение задач по вариантам

Вариант (последняя цифра номера зачетной книжки)	Номера задач
1	1	11	21	31	41	51	61	71	81
2	2	12	22	32	42	52	62	72	82
3	3	13	23	33	43	53	63	73	83
4	4	14	24	34	44	54	64	74	84
5	5	15	25	35	45	55	65	75	85
6	6	16	26	36	46	56	66	76	86
7	7	17	27	37	47	57	67	77	87
8	8	18	28	38	48	58	68	78	88
9	9	19	29	39	49	59	66	79	89
0	10	20	30	40	50	60	70	80	90

Тема 1. Аналитическая геометрия на плоскости

Литература

1.Демидович Б.П., Кудрявцев В.А., Краткий курс высшей математики. М. Астрель-АСТ. 2001. Гл. I-IV.

2. Баврин И.И., Матросов В.Л. Высшая математика. М. Владос. 2002. Гл. 1, 5.

3. Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике. М. Айрис Пресс. 2000. Ч. 1. Гл. III.

Примеры решения задач

Задача №1. Даны вершины треугольника АВС: А(–2; 4), В(6; –2), С(8; 7). Найти: 1) периметр треугольника; 2) уравнения сторон в общем виде; 3) внутренний угол А в градусах; 4) координаты точки пересечения медиан Q; 5)уравнение высоты АD; 6) уравнение прямой, проходящей через точку А параллельно стороне ВС; 7) составить систему неравенств, определяющую внутреннюю область треугольника АВС. Сделать чертеж.

Решение. 1) Расстояние между двумя точками А(х₁; у₁) и В(х₂; у₂) вычисляется по формуле

АВ = .

Подставив в нее координаты точек А и В, получаем:

АВ = = 10.

Аналогично находим ВС = ; АС = . Так как периметр Р треугольника равен сумме длин его сторон, то

Р = 10 + + .

8

C

6

A Q

2 D

E

–2 0 2 4 6 8 10 х

B

Рисунок 2 – Треугольник АВС на плоскости

2) Уравнение прямой, проходящей через точки А(х₁;у₁) и В(х₂;у₂) имеет вид

.

Подставив в него координаты точек А и В, получим уравнение прямой АВ

или 3х + 4у – 10 = 0.

Аналогично получаем уравнения прямых АС 3х – 10у + 46 = 0, и ВС 9х – 2у – 58 = 0.

3) Для нахождения внутреннего угла А треугольника воспользуемся формулой тангенса угла между двумя прямыми

.

Из рис. 1 следует, что в качестве k₁ следует взять угловой коэффициент прямой АВ, а в качестве k₂ - угловой коэффициент прямой АС. Чтобы найти угловой коэффициент прямой АВ, запишем ее уравнение в виде

.

Тогда . Следовательно, . Аналогично из уравнения прямой АС 3х – 10у + 46 = 0 находим . Подставив в формулу для вычисления tgA угловые коэффициенты и , получим:

.

Откуда .

4) Известно, что точка пересечения медиан Q делит каждую из них в отношении 21, считая от вершины. Тогда для отрезков медианы CE имеет место равенство: . Таким образом, координаты точки Q можно вычислить по формулам деления отрезка в данном отношении

, .

По этим формулам найдем координаты точки Е, делящей отрезок АВ пополам, при этом  = 1.

, .

Итак, Е(2; 1). Воспользуемся формулами деления отрезка в данном отношении для нахождения координат точки Q, подставив в них координаты точек С и Е, при этом  = 2:

.

Точка пересечения медиан треугольника Q(4; 3).

5) Высота АD перпендикулярна стороне ВС, поэтому угловые коэффициенты этих прямых обратны по величине и противоположны по знаку. Следовательно,

. Так как , то .

Уравнение прямой, проходящей через данную точку М₁(х₁; у₁) имеет вид:

y – у₁ = k(x – x₁).

Подставив в него координаты точки А(–2; 4) и найденный угловой коэффициент , получаем уравнение высоты АD

или 2х + 9у – 32 = 0.

6) Обозначим искомую прямую L. Так как прямая L параллельна ВС, то их угловые коэффициенты равны, k_L = k_BC = . Подставим в уравнение y – у₁ = k(x – x₁) координаты точки А(–2; 4) и угловой коэффициент прямой L равный и получим искомое уравнение прямой L

9х – 2у + 26 = 0.

7) Множество точек треугольника АВС можно рассматривать как пересечение трех полуплоскостей, первая из которых ограничена прямой АВ и содержит точку С, вторая ограничена прямой ВС и содержит точку А, третья – прямой АС и содержит точку В.

Подставив в левую часть уравнения прямой АВ координаты точки С, получим

38 + 47 – 10  0.

Следовательно, неравенство, определяющее первую из этих полуплоскостей, имеет вид

3х + 4у – 10  0.

Аналогично, вторая полуплоскость определяется неравенством

9х – 2у – 58  0, третья – 3х – 10у + 46  0.

Таким образом, множество точек данного треугольника АВС определяется системой неравенств

Вопросы для самопроверки

1. Как определяются декартовы координаты точки на плоскости?

2. Как вычислить расстояние между двумя точками?

3. Напишите формулы для определения координат середины отрезка.

4. Как найти координаты точки пересечения двух линий?

5. Что называется угловым коэффициентом прямой? Какие прямые не имеют угловых коэффициентов?

6. Сформулируйте признаки параллельности и перпендикулярности прямых?

7. Как найти угол между двумя прямыми, заданными своими уравнениями?