Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

НАЦИОНАЛЬНЫЙ МИНЕРАЛЬНО-СЫРЬЕВОЙ УНИВЕРСИТЕТ «ГОРНЫЙ»

Кафедра информатики и прикладной математики

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

: Эконометрика

По дисциплине ____________________________________________________

Автор: студентка 3 курса, группы: ФКз-11-6б

Шифр: 1170031160

_________ Павлова О.А.

(подпись) (Ф.И.О.)

ОЦЕНКА: _____________

Дата: ___________________

ПРОВЕРИЛА:

________

(Ф.И.О.)

(подпись)

Санкт-Петербург

2013 год

Значение параметров моделирования: a₀=150; a₁=26; =40. (6вариант)

Моделирование исходных данных

Пусть x обозначает объем продаж некоторого продукта (в тысячах единиц), а y – фактические затраты на реализацию этого объема (в у. е.). Здесь объем продаж x будем считать фактором, объясняющим фактические затраты y. Допустим, что уравнение

y=150+26x+u (4.4)

задает зависимость фактических затрат y от объема продаж x. Случайная величина u распределена нормально с математическим ожиданием 0 и стандартным отклонением = 40. Из (4.4) следует, что фактические затраты y складываются из средних затрат

y^ср =150+26x (4.5)

и отклонений u фактических затрат от средних затрат. Таким образом, из (4.4) следует, что для фактических затрат y имеет место равенство

y=y^ср+u. (4.6)

Для получения исходных данных будем моделировать уравнение (4.6) последовательно для объема продаж x = 1,2..,10. При заданном объеме продаж x средние затраты вычисляем по формуле (4.5), а значения u отклонений фактических затрат от средних будем моделировать с помощью таблицы случайных чисел, распределенных нормально с математическим ожиданием 0 и дисперсией 1, следующим образом. Из таблицы А приложения выбираем любые десять значений (например, первые десять значений шестого столбца). Обозначим их z_i и поместим в первый столбец табл. 4.1. По выбранным значениям z_i вычислим отклонения от средних затрат u_i по формуле

u_i= z_i..

В нашем примере  =40. Эти значения составят второй столбец табл. 4.2. В третий и четвертый столбцы таблицы поместим объемы продаж x_i и средние затраты y_i^пр, вычисленные по формуле (4.5). Тогда фактические затраты получаются, согласно формуле (4.6), сложением средних затрат из столбца четыре с отклонениями от них из второго столбца. Фактические затраты помещены в пятый столбец табл. 4.2. Для примера получим фактические затраты при объеме продаж x=1. Из (4.6) следует, что фактические затраты в первом наблюдении равны

y₁ =y^ср+u₁=176 + (-33,84)=142,16.

Заметим, что значение -33,84 означает, что фактические затраты меньше средних на -33,84 у. е. Аналогично вычисляются фактические затраты y₂. Во втором наблюдении при x=2

y₂= y^ср+u₂=202 + (-24,28)=177,72.

В этом случае фактические затраты оказались меньше средних на - 24,28у.е. Продолжая моделирование аналогичным образом для x=3,4 ,10, построим исходные данные для десяти наблюдений.

y₃= y^ср+u₃=228 + 69,04=297,04.

y₄= y^ср+u₄=254 + (-47,36)=206,64.

y₅= y^ср+u₅=280 + 11,8=291,8.

y₆= y^ср+u₆=306 + (-6,72)=299,28.

y₇= y^ср+u₇=332 + (-46,28)=285,72.

y₈= y^ср+u₈=358 + 106,16=464,16.

y₉= y^ср+u₉=384 + 6,32=390,32.

y₁₀= y^ср+u₁₀=410 + (-70,84)=339,16.

Метод наименьших квадратов

Рассчитаем теперь коэффициенты регрессии по формулам

,

.

Для этого необходимо предварительно вычислить x_iy_i, x_i², y_i², заполнить шестой, седьмой и восьмой столбцы таблицы, а затем найти сумму и среднее арифметическое этих столбцов. Тогда коэффициенты регрессии будут равны b₀=289,4-26,3125.5=144,684.

Таким образом, уравнение регрессии имеет вид

y^пр=144,684+26,312x. (4.7)

Таблица 4.2

zi	ui=40zi	xi	yiср=150+26xi	yi=yср+ui	xiyi	xi2	yi2	yiпр	ei
-0,846	-33,84	1	176	142,16	142,16	1	20209,47	170,996	-28,84
-0,607	-24,28	2	202	177,72	355,44	4	31584,40	197,308	-19,59
1,726	69,04	3	228	297,04	891,12	9	88232,76	223,62	73,42
-1,184	-47,36	4	254	206,64	826,56	16	42700,09	249,932	-43,29
0,295	11,8	5	280	291,8	1459	25	85147,24	276,244	15,556
-0,168	-6,72	6	306	299,28	1795,68	36	89568,52	302,556	-3,276
-1,157	-46,28	7	332	285,72	2000,04	49	81635,92	328,868	-43,148
2,654	106,16	8	358	464,16	3713,28	64	215444,51	355,18	108,98
0,158	6,32	9	384	390,32	3512,88	81	152349,70	381,492	8,828
-1,771	-70,84	10	410	339,16	3391,6	100	115029,51	407,804	-68,644
Сумма		55		2894	18087,76	385	921902,12
Среднее		5,5		289,4	1808,78	38,50	92190,212

Уравнение регрессии (4.7) позволяет вычислить прогноз средних затрат y^ср(x) при любом объеме продаж x. При x=1 средние затраты составят

y^cр(1)= 176 у.е.,

а их прогноз

y^пр(1)=144,684+26,3121=170,996 у. е.

(При этом по исходным данным фактические затраты составляли 142,16 у.е.) Расхождение между фактическими и прогнозируемыми затратами называют остатками e_i. При x=1 остаток составит величину

e₁=y₁-y^пр(1)=142,16-170,996= -28,84.

e₂=y₂-y^пр(2)=177,72-197,308= -19,59.

e₃=y₃-y^пр(3)=297,04-223,62= 73,42.

e₄=y₄-y^пр(4)=206,64-249,932= -43,29.

e₅=y₅-y^пр(5)=291,8-276,244= 15,556.

e₆=y₆-y^пр(6)=299,28-302,556= -3,276.

e₇=y₇-y^пр(7)=285,72-328,868= -43,148.

e₈=y₈-y^пр(8)=464,16-355,18= 108,98.

e₉=y₉-y^пр(9)=390,32-381,492= 8,828.

e₁₀=y₁₀-y^пр(10)=339,16-407,804= -68,644.

Все значения y_i^пр и остатки e_i помещены в двух последних столбцах табл. 4.2.

Для дисперсии ² найдем ее оценку s² по формуле

Тогда стандартная ошибка s = =58,37.

Теперь можно сравнить параметры уравнения модели (4.4) с коэффициентами уравнения регрессии (4.7) и стандартное отклонение  со стандартной ошибкой s:

параметр a₀=150, а его оценка b₀=144,684,

параметр a₁=26, а его оценка b₁=26,312,

параметр =40, а его оценка s=58,37.

В нашем примере сравнение показывает относительную близость параметров и их оценок. Используя предположение о нормальном распределении отклонений u фактических затрат от средних, можно оценить степень отклонения оценок от параметров.