Параметрический var
Если известен закон распределения потерь (например, нормальный), то вычисление значения VAR существенно упрощается. В этом случае достаточно знать (или оценить по выборке) параметры распределения (для нормального распределения их два - и ). Тогда значение VAR может быть определено непосредственно из стандартного отклонения портфеля с использованием множителя, определяющего уровень доверительной вероятности. Такой подход называется параметрическим, поскольку требует оценки по выборке параметров распределения вместо непосредственного вычисления квантили по эмпирической гистограмме.
Этот метод прост, удобен в использовании, и, как будет показано ниже, дает более точное значение VAR. Сложной стороной является лишь оценка корректности предположения о принадлежности закона распределения к определенному типу.
Пусть мы сделали
предположение о возможности использования
нормального распределения. Прежде всего
нам нужно свести реальное распределение
к стандартному нормальному, с нулевым
математическим ожиданием и единичной
дисперсией. Ранее мы вводили нижнюю
границу стоимости портфеля как
,
где граничное значение доходности
есть, как правило, величина отрицательная.
Поэтому можно записать его как
.
Далее, вводим величину
с помощью соотношения
,
и эта величина служит аргументом функции
распределения стандартного нормального
распределения. Это эквивалентно
соотношению
,
где
есть функция плотности вероятностей
стандартного нормального распределения.
Теперь вычисление
значения VAR сводится к
нахождению такого
,
что площадь под кривой нормального
распределения левее этого числа есть
.
Это легко можно сделать с помощью таблиц
для функции распределения вероятностей
(или, в иных обозначениях,
)
нормального распределения (cumulative
standard normal
distribution function):
.
Затем проделаем
все шаги в обратном направлении, то есть
через
определим критическое значение
как
,
и далее найдем значение VAR.
Для большей общности
предположим, что параметры
и
рассчитываются на базе наблюдений за
год. Тогда рассматриваемый временной
интервал
тоже выражается в годах (или долях года).
Тогда показатель VAR для
среднего есть
Если же вычислять VAR для абсолютных потерь в долларах, получим
.
Рисунок 2.11. ниже показывает, как вычислять этот параметрический VAR.
Рис. 2.11. Порядок вычисления параметрического VAR
Стандартное отклонение для данного распределения составляет 9.2 млн. долларов. Тогда значение VAR, вычисленное на основании нормального распределения, есть
млн.
Заметим, что оно очень близко к полученному ранее на основании прямой обработки гистограммы значению 14.7 млн.
Таким образом, два распределения в данном примере дают аналогичные результаты. Для не столь большого уровня доверительной вероятности, обычно ниже 99%, нормальное распределение адекватно отражает многие эмпирические распределения, особенно для портфелей с высокой степенью диверсификации. На рисунке ниже (2.12) представлена функция распределения для эмпирического распределения гистограммы и аппроксимирующая его функция распределения для нормального распределения – видно, что они очень близки. Поэтому мы можем считать, что нормальное распределение дает хорошее приближение реальных данных.
Рис. 2.12. Гистограмма эмпирического и нормального распределения
Этот метод можно
обобщить на случай использования других
распределений, которые дадут другие
значения
.
Если вместо нормального распределения
мы возьмем распределение Стьюдента,
например, с 6 степенями свободы, у него
будут более толстые хвосты, чем у
нормального. Поэтому множитель
будет равен 2.57 при уровне доверительной
вероятности 99%. Тогда параметрический
показатель VAR есть
млн., вместо 21 млн., полученного из
нормального распределения.