Решение.

Р(А) = p = 0,69 – вероятность появления события А при одном испытании.

Р( ) = q =1 – 0,69 = 0,31 – вероятность непоявления события А при одном испытании.

а) Воспользуемся локальной формулой Муавра–Лапласа

, где и .

По условию n = 870, N = 440.

По таблице 11,7511,750000.

б) Воспользуемся интегральной формулой Лапласа

, где ;

.

По таблице Ф(-11,75)  -0,5, Ф(-15,93)  – 0,5.

в) Воспользуемся интегральной формулой Лапласа

, где ;

По таблице Ф(-11,75)  -0,5.

Задание 4.17. Случайная величина Х задана рядом распределения. (Найдем необходимые значения, согласно своему варианту: R=3, x₁=20, x₂=23, x₃=26, x₄=32, р₁=0.125, р₂=0.167, р₃=0.508, р₄=0.2).

Х	20	23	26	32
Р	0.125	0.167	0.508	0.2

Найти функцию распределения F(x) случайной величины X и построить ее график. Вычислить для Х ее математическое ожидание M(X) и дисперсию D(X).

Решение.

Найдем функцию распределения F(x) случайной величины X

Если х20, то F(x) = P(X<x) = 0;

если 20<x23, то F(x) = P(X<x) = P(X=20) = 0,125;

если 23<х26, то F(x) = P(X=20) + P(X=23) = 0,125 + 0,167 = 0,292;

если 26<x32, то F(x) = P(X=20) + P(X=23) + P(X=26) = 0,125+0,167+0,508 = 0,8;

если х>32, то F(x) = P(X=20) + P(X=23) + P(X=26) + Р(Х=32) = 1.

Построим график.

Сумма вероятностей равняется:

S = 0.125 + 0.167 + 0.508 + 0.2 = 1

Нормировочное правило соблюдается, сумма вероятностей равна = 1

Математическим ожиданием М(Х) дискретной случайной величины Х называется сумма произведений всех ее возможных значений на соответствующие вероятности

Математическое ожидание дискретного распределения равняется:

M(x) = 0.125 × 20 + 0.167 × 23 + 0.508 × 26 + 0.2 × 32 = 25.95

Дисперсией D(X) случайной величины Х называют средний квадрат отклонения случайной величины от ее центра распределения:

.

Дисперсия дискретного распределения равняется:

D(x) = 0.125 × 20² + 0.167 × 23² + 0.508 × 26² + 0.2 × 32² – M²(x) = 686.55 - 25.95² = 13.2

Задание 5.17. Случайная величина Х задана функцией плотности вероятности.

Найти параметр c, функцию распределения F(x) случайной величины Х. Построить графики функций f(x) и F(x). Вычислить для Х ее математическое ожидание M(X) и дисперсию D(X).

Решение.

1) Коэффициент А можно определить из условия нормировки .

,

откуда ; .

2) Функцию распределения найдем из соотношения .

Если x0, то ;

если 0<x¹/₄, то ;

если х>¹/₄, то .

Таким образом, функция распределения имеет вид .

3) Графики функций f(x) и F(x) изображены на рисунках.

Функция плотности Функция распределения

4) Найдем математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х:

.

Для вычисления дисперсии найдем :

=

Воспользуемся формулой :

.

Среднее квадратическое отклонение случайной величины Х:

.

Задание 6.17.

Для случайной величины, заданной выборкой Х=(6.2; 6.4; 4.5; 8.5; 11; 6.8; 7; 5; 9; 13; 7.2; 5.2; 9.2; 0.5; 2.5; 7.6; 5.5; 9.5; 1; 3), с уровнем значимости 0.03 и надежностью 0.95, на отрезке [0, 14] (с числом разбиений отрезка, равным 7) и при неизвестном среднем квадратическом отклонении: составить вариационный ряд, построить гистограммы частот и относительных частот, вычислить точечные и интервальные оценки, проверить гипотезу о нормальном распределении по критерию согласия Пирсона.

Решение.

1. Найдем точечные оценки

Проранжируем ряд. Для этого сортируем его значения по возрастанию.

x	(x - x ср)2	Количество повторений x
0.5	35.16	1
1	29.48	1
2.5	15.44	1
3	11.76	1
4.5	3.72	1
5	2.04	1
5.2	1.51	1
5.5	0.86	1
6.2	0.0529	1
6.4	0.0009	1
6.8	0.14	1
7	0.32	1
7.2	0.59	1
7.6	1.37	1
8.5	4.28	1
9	6.6	1
9.2	7.67	1
9.5	9.42	1
11	20.88	1
13	43.16	1
128.6	194.52

Для оценки ряда распределения найдем следующие показатели:

Средняя арифметическая

Медиана - значение признака, которое делит единицы ранжированного ряда на две части.

Находим середину ранжированного ряда: h = 20/2 = 10. Этому номеру соответствует значение ряда 6.4.

Абсолютные показатели вариации.

Размах вариации - разность между максимальным и минимальным значениями признака первичного ряда.

R = X_max - X_min

R = 13 - 0.5 = 12.5

Дисперсия - характеризует меру разброса около ее среднего значения (мера рассеивания, т.е. отклонения от среднего).

Среднее квадратическое отклонение (средняя ошибка выборки).

2. Составим вариационный ряд

Ширина интервала составит:

Для каждого значения ряда подсчитаем, какое количество раз оно попадает в тот или иной интервал. Для этого воспользуемся отсортированным по возрастанию рядом.

0.5	0 – 2	1
1	0 – 2	2
2.5	2 – 4	1
3	2 – 4	2
4.5	4 – 6	1
5	4 – 6	2
5.2	4 – 6	3
5.5	4 – 6	4
6.2	6 – 8	1
6.4	6 – 8	2
6.8	6 – 8	3
7	6 – 8	4
7.2	6 – 8	5
7.6	6 – 8	6
8.5	8 – 10	1
9	8 – 10	2
9.2	8 – 10	3
9.5	8 – 10	4
11	10 – 12	1
13	12 – 14	1