Расчет плоской статически неопределимой рамы методом сил

Литература: [1] §§6.1-6.3, 6.11-6.15; [2] §§124-132, 138; [4] §§XI.I-X.5; [7] §1.1; [11] §§6.1-6.5, 6.8; [12] §§ 5.1, 5.2.

Задача 5.1 Для рам (рис. 5.1) с размерами и нагрузками, определенными по табл. 5.1, требуется:

а) построить эпюры изгибающих моментов, поперечных и продольных сил;

б) проверить правильность построенных эпюр.

Таблица 5.1

№ строки	номер схемы		h м	l1 м	l2 м	q1 кН/м	q2 кН/м	p1 кН	p2 кН	Jгор. Jвер.
1	1	11	3	4	4	2	0	6	0	1:1
2	2	12	4	5	3	0	2	0	6	2:1
3	3	13	5	6	5	4	0	8	0	3:1
4	4	14	6	6	4	0	4	0	8	2:3
5	5	15	3	5	6	3	0	10	0	3:2
6	6	16	4	4	3	0	3	0	10	1:2
7	7	17	5	4	5	5	0	12	0	4:3
8	8	18	6	5	6	0	5	0	12	3:1
9	9	19	4	6	8	6	0	15	0	3:2
0	10		6	5	4	0	6	0	15	2:3
	е		г	д	е	д				е

Пример решения задачи 5. Расчетная схема представлена на рис. 5.2, а.

Степень статической неопределимости системы определим по формуле

n=3K-Ш,

где К - число замкнутых контуров, Ш- число простых шарниров.

Рис. 5.1

Рис. 5.1 Продолжение

Рис. 5.1 Окончание

Заменяя шарнирно неподвижные опоры А и В кинематически эквивалентными им цилиндрическими шарнирами, будем иметь: К=3, Ш=7, n=3·3-7=2.

Для образования основной системы нужно отбросить две связи. Так как заданная рама симметрична, целесообразно для упрощения дальнейшего расчета выбрать симметричную основную систему. Принимаем основную систему, показанную на рис.5.2, б.

Канонические уравнения метода сил имеют вид:

Коэффициентами и свободными членами системы уравнений являются обобщенные перемещения по направлениям действия сил x₁=1 и x₂=1 вызванные этими силами и заданными нагрузками. Для определения этих перемещений удобно использовать способ А.Н. Верещагина. Строим эпюры моментов от единичных значений лишних неизвестных и от нагрузки (рис. 5.2, в-д) и "перемножаем" их:

_.

Коэффициенты δ₁₂ и δ₂₁ равны нулю, т.к эпюра моментов симметрична, а эпюра кососимметрична.

Рис. 5.2

Для проверки найденных значений строим суммарную единичную эпюру моментов (рис.5.2, е)

Эта эпюра может быть построена суммированием ординат эпюр и в соответствующих сечениях. Результат "перемножения" этой эпюры самой на себя должен быть равен сумме коэффициентов канонических уравнений. Проверяем правильность вычисления коэффициентов:

.

Проверяем свободные члены системы канонических уравнений:

;

.

Все коэффициенты и свободные члены системы уравнений вычислены правильно. Подставляем найденные значения перемещений в канонические уравнения и определяем значения усилий в лишних связях:

; X₁=1,078 кН;

; X₂=0,542кН.

Строим эпюры моментов и от сил X₁ и X₂. Для этого все ординаты эпюр и умножаем соответственно на значения X₁ и X₂ (рис. 5.3, а, б).

Вычислим ординаты моментов для заданной статически неопределимой системы, складывая по сечениям ординаты эпюр М₁, М₂ и М_р:

М_LD=10,78-1,626=9,154 кНּм;

М_LА=- 5,39 кНּм;

М_LF=5,39-1,626= 3,764 кНּм;

М_FL= М_FK= –1,626 кНּм;

М_KF= М_КМ= 1,626 кНּм;

М_MK=5,39+1,626=7,016 кНּм;

М_ME=10,78+1,626-20= –7,594 кНּм;

М_MG= –5,39+20=14,61 кНּм;

М_GM= М_GB=-2,695+20=17,305 кНּм.

По полученным значениям строим эпюру М (рис. 5.3, в). Экстремальное значение момента на участке D_i вычислим после построения эпюры поперечных сил.

Проверим правильность вычисления ординат эпюры моментов.

Статическая проверка заключается в том, что сумма моментов, действующих в каждом из узлов, должна быть равна нулю (рис. 5.3, г).

Для выполнения деформационной проверки нужно "умножить" окончательную эпюру моментов на любую из эпюр от единичных значений лишних неизвестных ( и ) или на суммарную единичную эпюру ( ). Результат перемножения должен быть равен нулю.

"Перемножим" эпюры М и :

Рис. 5.2

Рис. 5.3

Погрешность вычисления составляет

.

Для вычисления поперечных сил вырезаем последовательно стержни рамы и рассматриваем их равновесие (рис. 5.3, д). Стержень DL:

.

Поперечная сила в сечении, расположенном на расстоянии x от точки D

Определим расстояние x₀ от точки D до сечения, поперечная сила в котором равна нулю:

;

Момент в этом сечении имеет экстремальное значение

Стержень AL: , ; .

Стержень LF: , ,

Стержень KM: , .

Стержень MB: ; .

; .

.

Аналогично вычислены поперечные силы на остальных участках.

Эпюра поперечных сил показана на рис.5.4, а. Для определения продольных сил вырезаем последовательно узлы рамы (рис. 5.4, б) и составляем уравнения сумм на горизонтальную и вертикальную оси.

Узел F:

; ;

; .

Узел L:

; ;

; ;

кН.

Равенство нулю продольной силы в стержне DL можно было установить, рассматривая узел D.

Узел К:

; ;

; .

Узел М:

; ;

; ;

.

Эпюра продольных сил показана на рис. 5.4, в.

Выполним статические проверки эпюр Q и N. Для этого рассмотрим сначала равновесие верхней части рамы (рис. 5.4, г):

;

.

Затем рассмотрим всю раму, отделив ее о опор (рис. 5.4, д):

;

.

Все статические проверки удовлетворяются.

Рис. 5.4