Определение перемещений в статически определимых системах
Литература: [1] §5.4-5.6; [2] §104-107; [3] §38-40; [4] §VIII.3-VIII.4; [5] §6.1; [11] §5.6,5.7; [12] §3.2.
Задача 4.1 Для балок, схемы которых изображены на рис. 4.1, определить способом Верещагина вертикальное перемещение Δ или угол поворота φ одного из указанных сечений. Жесткость балки на изгиб EJ=4ּ105 Н ּм2. Остальные данные взять из табл. 4.1.
Таблица 4.1
№ строки |
Номер схемы
|
P кН |
q кН/м |
М кН ּм |
l1 м |
l2 м |
l3 м |
Номер сечения |
Вид перемещения |
|
Вариант А
|
Вариант В
|
|||||||||
1 |
1 |
11 |
10 |
1 |
0 |
8 |
6 |
1 |
1 |
φ |
2 |
2 |
12 |
0 |
3 |
6 |
10 |
4 |
3 |
2 |
Δ |
3 |
3 |
13 |
8 |
4 |
0 |
6 |
2 |
2 |
3 |
φ |
4 |
4 |
14 |
0 |
2 |
8 |
4 |
3 |
1 |
2 |
Δ |
5 |
5 |
15 |
12 |
1 |
0 |
8 |
6 |
3 |
1 |
φ |
6 |
6 |
16 |
0 |
4 |
12 |
5 |
5 |
2 |
3 |
Δ |
7 |
7 |
17 |
4 |
2 |
0 |
4 |
4 |
1 |
1 |
φ |
8 |
8 |
18 |
0 |
3 |
10 |
6 |
3 |
2 |
2 |
Δ |
9 |
9 |
19 |
6 |
4 |
0 |
5 |
5 |
3 |
2 |
φ |
0 |
10 |
|
0 |
2 |
14 |
10 |
6 |
2 |
1 |
Δ |
|
Е |
д |
е |
д |
е |
е |
д |
д |
е |
|
Пример выполнения задачи 4.1. Для балки, изображенной на
рис. 4.2, а, определить вертикальное перемещение сечения 1 и угол поворота сечения 2. Жесткость балки на изгиб постоянна и равна EJ=5ּ102 кН ּм2. Остальные данные показаны на рисунке.
Решение. Определение перемещений от действия внешней нагрузки в стержневых системах, работающих на изгиб, проводится с помощью интеграла Мора
l1
l2
l3
l3
l3
l1
l2
l2
l3
l1
l2
l3
l3
l1
l2
l3
l3
l2
l2
l1
l3
l2
l1
l3
l2
l1
l2
l3
l1
l3
l2
l1
l2
l3
l2
l3
l1
l2
l3
l2
Рис. 4.1
1
5
3
7
9
8
6
4
2
10
l1
l2
l3
l3
l2
l3
l2
l1
l2
l2
l3
l1
l3
l1/2
l1/2
l2
l1
l2
l3
l1
l2
l1/2
l1/2
l3
l1
l2
l2
l2
l2
l3
l1
l1
l2
l3
Рис. 4.1
Окончание
11
15
12
14
13
18
17
16
19
l3
l3
l3
Рис. 4.2
б)
в)
г)
а)
,
(4.1)
который при постоянной на участках изгибной жесткости удобнее вычислять способом Верещагина
.
(4.2)
В
формулах (4.1) и (4.2):
и
– выражения изгибающих моментов в
произвольном сечении i-го
рассматриваемого участка от действия
заданной внешней нагрузки и обобщенного
усилия
,
приложенного в направлении искомого
обобщенного перемещения Δкр;
ωi-
площадь эпюры
и
лежат
по одну сторону оси стержня, то произведение
ωiyi
берется со
знаком "+", а если они лежат по разные
стороны. то произведение ωiyi
принимает
знак "–".
Для
определения вертикального перемещения
сечения 1 необходимо построить эпюру
от действия внешней нагрузки (рис. 4.2,
б) и эпюру
от
действия силы
,
приложенной вертикально в точке 1 (рис.
4.2, в). При определении угла поворота
сечения в точке 2 строится эпюра
от действия единичного изгибающего
момента
,
приложенного в точке 2 (рис. 4.2, г).
Построение указанных эпюр моментов
проводим с помощью метода сечений,
предварительно определяя реакции,
возникающие в опорах (см. контрольную
работу №1). При определении на участках
площадей эпюры Мр
и положения их центров тяжести
воспользуемся табл. 4.2, в которой приведены
наиболее часто встречающиеся случаи.
Более сложные фигуры могут быть получены
из приведенных путем их разбиения на
простые.
Таблица 4.2
№ п/п |
Положение центра тяжести и площади фигур |
№ п/п |
Положение центра тяжести и площади фигур |
1 |
С
ц.т.
x1
x2
h
ω
l
|
2 |
С
ц.т.
x1
h
x2
l
ω
|
3 |
С
ц.т.
x1
h
x2
l
ω
квадратная парабола
|
4 |
x1
x2
С
ц.т.
h
ω
l
квадратная парабола
|
5 |
Формула
"перемножения" трапеций
|
||
Число участков по построенным эпюрам равно четырем (их номера показаны на рис. 4.2, а). При этом на втором участке криволинейную фигуру эпюры Мр разобьем на треугольник и параболический сегмент (рис. 4.2, б) а на четвертом участке– трапецию на два треугольника. Найдем по участкам площади фигур эпюры Мр
,
,
,
,
,
и соответствующие ординаты yi на эпюре под их центрами тяжести
,
,
,
,
,
.
Подставляя
найденные значения площадей
эпюры Мр
и ординаты yi
эпюры
в формулу (4.2) и учитывая взаимное
расположение указанных эпюр (или знаки
произведений
),
определим вертикальное перемещение
точки 1
Следует
отметить, что на 4-м участке произведение
может быть вычислено с помощью формулы
"перемножения" трапеции (табл. 4.2,
№5)
.
Найденное
значение перемещений точки 1 имеет знак
"–". Следовательно. точка 1
перемещается вверх, в сторону,
противоположную действию единичной
силы
.
Для
определения угла поворота φ2
сечения 2 вычислим ординаты yi
на построенной от действия единичного
момента
эпюре
(рис.
4.2, г):
,
,
,
,
,
.
и, используя выше найденные значения площадей ωi, фигур эпюры, Мр, по формуле (4.2) получаем
l1
l2
l3
l3
l1
l2
l2
l3
Рис. 4.3
1
5
3
6
4
2
l1
l3
l1
l2
l3
l1
l2
l3
l2
l3
l1
l3
Рис. 4.3 Продолжение
l1
l2
l2
l3
l1
l2
l3
7
11
9
12
10
8
l3
l3
l2
l2
l3
l2
l1
l1
l2
l3
l2
Рис. 4.3 Окончание
l1
l3
l3
l1
l2
l2
13
17
15
18
16
14
l1
l3
l1
l2
l1
l2
l3
l3
l1
l2
l2
l2
l2
l3
l2
l3
l1
Рис. 4.4
а)
д)
г)
в)
б)
Сечение
2 поворачивается по часовой стрелке в
сторону действия единичного момента
на угол φ2=6,75ּ10-2рад≈3,87˚.
Задача 4.2. Для рам, схемы которых изображены на рис. 4.3, определить способом Верещагина горизонтальное или вертикальное перемещение или угол поворота одного из указанных сечений.
Жесткость стержней рамы на изгиб EJ= 5·105 Н ּм2 . Остальные данные взять из табл. 4.3.
Пример выполнения задачи 4.2. Для рамы, изображенной на рис. 4.4, а, определить вертикальное и горизонтальное перемещение точки 1 и угол поворота сечения 2, вызванное действием внешней нагрузки. Изгибные жесткости горизонтальных стержней рамы EJ= 5·105 Н ּм2, а вертикального стержня - 2EJ=106 Н ּм2. Остальные данные показаны на рис. 4.4, а.
Решение. Для нахождения перемещений точки 1 и угла поворота сечения 2 воспользуемся способом Верещагина (формула 4.2). Используя методику построения эпюр внутренних силовых факторов (см. контрольную работу №1), построим в исходной системе эпюру изгибающих моментов от заданной внешней нагрузки (рис. 4.4, б). При этом величины реакций, возникающих в опорах рамы, показаны на рис. 4.4,а.
Для
определения вертикального перемещения
точки 1 приложим к ней вертикальную силу
и построим эпюру моментов
(рис. 4.4, в). "Перемножая" эпюры Мр
и
,
находим
.
Знак "–" показывает, что точка 1 перемещается вниз, в сторону, противоположную действию единичной силы .
Приложив
в точке I
горизонтальную силу
и построив эпюру моментов
(рис. 4.4, г), найдем горизонтальное
перемещение точки 1
Таблица 4.3
№ строки |
номер схемы |
P кН |
q кН/м |
М кН ּм |
l1 м |
l2 м |
l3 м |
Номер сечения |
Вид перемещения |
|
Вариант А
|
Вариант В
|
|||||||||
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
1 |
1 |
11 |
0 |
2 |
6 |
8 |
2 |
2 |
3 |
Δ |
2 |
2 |
12 |
8 |
3 |
0 |
6 |
4 |
1 |
2 |
φ |
3 |
3 |
13 |
0 |
1 |
10 |
4 |
6 |
4 |
1 |
Δ |
4 |
4 |
14 |
12 |
4 |
0 |
5 |
3 |
3 |
3 |
φ |
5 |
5 |
15 |
0 |
2 |
8 |
10 |
5 |
2 |
2 |
Δ |
6 |
6 |
16 |
6 |
1 |
0 |
6 |
4 |
3 |
1 |
φ |
7 |
7 |
17 |
0 |
4 |
12 |
8 |
2 |
4 |
3 |
Δ |
8 |
8 |
18 |
4 |
3 |
0 |
5 |
3 |
5 |
2 |
φ |
9 |
9 |
19 |
0 |
2 |
14 |
10 |
6 |
1 |
1 |
Δ |
0 |
10 |
|
6 |
1 |
0 |
4 |
5 |
2 |
2 |
φ |
|
е |
д |
е |
д |
е |
е |
д |
д |
е |
|
Направление
перемещения– вправо, по направлению
действия силы
.
На основании полученных знаний перемещение
и
можно определить полное перемещение
точки 1
=269,05ּ10-5м=0,27
см.
Для
нахождения угла поворота сечения 2
приложим к нему единичный момент
и построим в заданной системе эпюру
моментов
и “перемножая” на эпюру Мр,
определяем угол поворота φ2:
Сечение в точке 2 поворачивается против часовой стрелки по направлению приложенного к системе единичного момента =1.
Контрольная работа №5