Расчет плоской статически определимой фермы

Литература: [1] §4.2, 4.6; [2] §55, 60; [4] §V.1, V.3; [5] §4.1; [11] §4.3; [12] §2.4.

Задача 3.1 Для ферм (рис. 3.1) с размерами и нагрузками, определенными по таблице 3.1, требуется:

а) определить аналитически усилия во всех стержнях указанной панели от постоянной нагрузки;

б) построить линии влияния усилий для тех же стержней;

в) определить по линиям влияния максимальные и минимальные усилия, возникающие в стержнях от действия временной нагрузки;

г) определить максимальные и минимальные значения расчетных усилий в этих стержнях.

Силы приложены во всех узлах грузового пояса, причем в крайних узлах силы вдвое меньше, чем в остальных.

Номера панелей слева.

Таблица 3.1

№ строки	номер схемы		№ панели	d м	h м	Pпост кН	Pврем кН	Грузовой пояс
	Вариант А	Вариант В
1	1	11	2	3	3	10	8	верхний
2	2	12	3	4	3	15	10	верхний
3	3	13	4	3	4	20	15	верхний
4	4	14	5	4	4	30	10	верхний
5	5	15	6	3	2	25	15	верхний
6	6	16	7	2	3	20	10	нижний
7	7	17	2	3	2	30	8	нижний
8	8	18	3	4	4	25	10	нижний
9	9	19	4	2	3	30	15	нижний
0	10		5	5	4	10	12	нижний
	Е		д	г		д	б	д

7

5

4

3

2

1

6

Рис. 3.1

12 11 10 9 8 13 Рис.3.1 Продолжение

18 17 16 15 14 19 Рис.3.1 Окончание

Пример выполнения задачи 3.1. Дано: схема фермы (рис. 3.2, а) d=4м, h=3м, Р_пост=20кН, Р_врем=16кН, панель №3, грузовой пояс–верхний.

Решение. Определение усилия от постоянной нагрузки. Так как заданная ферма и нагрузка на нее симметричны, то реакции опор равны между собой, каждая из них равна половине равнодействующей всех сил

.

Для определения усилий в стержнях фермы используем метод сечений. Разрежем ферму сечением 1-1. Усилия в разрезанных стержнях можно определить, рассматривая равновесие сил, действующих на любую из частей фермы. Удобнее рассматривать ту часть, на которую действует меньшее количество сил. В данном случае это левая часть фермы. Предполагая, что все разрезанные стержни растянуты, направляем усилия в них от узлов (рис. 3.2, б).

Для определения усилия N₂₃ составим уравнение суммы моментов сил относительно точки 9 (моментная точка), в которой пересекаются линии действия усилий в стержнях 1-2 и 3-5

откуда N₂₃= – 60к Н.

Моментной точкой для усилия N₃₅ является точка 2, в которой пересекаются линии действия усилий N₁₂ и N₂₃. Усилие N₃₅ разложим в точке 3 на составляющие. Вертикальная составляющая при этом не дает момента относительно точки2.

Составляем уравнение равновесия

,

откуда .

Из подобия треугольников А-1-6 и 3-2-6 определяем . Для определения cosα рассмотрим треугольник 3-9-К:

; α=10⁰ 37^’; cosα=0,983.

Вычисляем N₃₅=54,3 кН.

Для определения усилий в стержнях 2-4 и 2-5 разрежем ферму сечением II-II Рассмотрим равновесие сил, действующих на левую часть фермы (рис. 3.2, в). Моментной точкой для усилия N₂₅ является точка 9. Если разложить N₂₅ на вертикальную и горизонтальную составляющие в точке 2, то горизонтальная составляющая в уравнение моментов сил относительно точки 9 входить не будет. Уравнение будет иметь вид

в)

б)

а)

г)

Рис.3.2

.

Из подобия треугольников 3-2-9 и 5-4-9 определяем

.

Далее вычисляем:

;

, ; N₂₅=81,63 кН.

Для определения усилия N₂₄ составляем уравнение (узел 5 является моментной точкой)

,

откуда N₂₄= -124,44 кН.

Определяем усилие N₄₅. Для этого разрежем ферму сечением III-III и рассмотрим равновесие левой части (рис. 3.2, г). Проецируем силы на ось Y

, откуда N₄₅= -30 кН.