Расчет статически определимой многопролетной балки и трехшарнирной системы

Литература: [1] §§2.1-2.5, 2.7-2.9, 3.1, 3.2; [2] §§44, 45, 49, 50, 60, 67; [4] §§II.1, II.3, III.1, III.2, IV.1, IV.4; [5] §§2.1, 2.2, 3.1; [11] §§3.1-3.6, 4.1, [12] §4.1.

Задача 2.1 Для балок, показанных на рис. 2.1, требуется:

а) построить эпюры поперечных сил Q и изгибающих моментов М; вычислить значения Q и M в указанных сечениях ( m, n, или k, s);

б) построить линии влияния опорных реакций, а также линии влияния Q и M для тех же указанных сечений;

в) вычислить от заданной неподвижной нагрузки значения двух опорных реакций (по выбору студента) и значения Q и M в указанных сечениях при помощи их линий влияния, сравнить полученные значения с результатами аналитического расчета.

Исходные данные взять из таблицы 2.1.

Таблица 2.1

№ строки	номер схемы		l1	l2	а	в	р1	р2	Q1	q2	Сечения
	Вариант А	Вариант В	м				кН		кН/м
1	1	11	6	10	1	3	15	2	4	5	m, n
2	2	12	7	11	2	2	14	3	5	4	k, s
3	3	13	8	12	3	1	13	4	6	3	m, n
4	4	14	9	13	4	3	12	5	2	2	k, s
5	5	15	10	14	1	2	10	6	3	2	m, n
6	6	16	11	15	2	1	8	7	4	3	k, s
7	7	17	12	9	3	4	6	8	5	4	m, n
8	8	18	13	8	1	3	4	9	2	5	k, s
9	9	19	14	7	2	2	3	3	4	6	m, n
0	10		15	6	3	1	2	4	5	8	k, s
	е	е	д	е	д	е	д	е	д	е	e

Пример выполнения задачи 2.1. Для заданной на рис.2.3, а многопролетной балки выполнить расчеты согласно условию задачи 2.1.

1

9

8

7

6

5

4

3

2

10

Рис. 2.1

11

19

18

17

16

15

14

13

12

Рис. 2.1 Окончание

Решение. Кинематический анализ системы. Для определения неизменяемости и статической определимости многопролетной

шарнирной балки число шарниров в пролетах должно удовлетворять условию

Ш=С₀–3, (2.1)

где С₀– число опорных стержней.

В данном примере Ш=3, С_о=6. Условие (2.1) выполняется. Это условие является необходимым, но недостаточным для заключения о том, что система является геометрически неизменяемой. Шарниры В, С, I делят балку на отдельные элементы-балки: АВ, BC ,CI и IG, причем балки АВ и IG являются основными, т.к. они неподвижно связаны с землей. Балки ВС и CI –второстепенные, которые без связи с соседними балками дают геометрически неизменяемую (подвижную) систему. Балка BC называется подвесной, как вообще не связанная с землей. Для уяснения взаимодействия отдельных частей шарнирной балки строим "поэтажную схему" (рис. 2.2, б).

Построение эпюр Q и M. Аналитический расчет удобнее вести отдельно для каждой балки, начиная с верхних балок в схеме взаимодействия. Расчет начинаем с определения опорных реакций (рис. 2.2, в). В первую очередь следует определить реакции подвесной балки ВС , затем можно рассмотреть балку АВ или CI, после балки CI нужно рассмотреть балку IG.

Рассмотрим элемент BC. Ввиду симметрии нагрузки на балке ВС:

.

Перейдем к элементу АВ. На консоль АВ действует сила , которая численно равна , но направлена в противоположную ей сторону. Из уравнений равновесия элемента АВ:

, , ,

следует М_А=12 кНּм, R_A=6 кН.

Рассмотрим элемент CI. Из уравнения равновесия:

,

получаем R_I=3 кН, R_D=9 кН. Для проверки запишем уравнение

Элемент IG. Из уравнения равновесия:

,

следует R_J=11,8 кН. Из уравнения:

,

а)

г)

в)

б)

д)

Рис. 2.2

а)

и)

з)

ж)

е)

д)

г)

в)

б)

к)

Рис. 2.3

x

4кН/м

1

1

В

С

1

B

1

A

R_C=6кН

x

R_B=6кН

3м

6

2м

6

Q(кН)

Q(кН)

М(кНּм)

1,5

6

6

М(кНּм)

12

4,5

Рис. 2.4

Рис. 2.5

С

6

Q(кН)

М(кНּм)

Рис. 2.6

2кН/м

Рис. 2.7

получаем R_H 11,8 кН. Для проверки составим уравнение

В заключение можно проверить для всей системы выполнение условия ΣY=0

.

Переходим к построению эпюр Q и M. Расстояния до сечений x_i для каждого грузового участка балок представлены на рис. 2.5–2.7. Правила построения эпюр Q и M см. контрольную работу №1. Согласно этому эпюры представлены: для элемента BC (рис.2.4), элемента АВ (рис. 2.5), элемента CI (рис. 2.6), элемента IG (рис. 2.7). Путем объединения соответствующих эпюр, построенных для отдельных элементов многопролетной шарнирной балки, получаем окончательные эпюры Q и M для всей балки, которые приведены на рис. 2.2, г, д.

Построение линий влияния. Для построения линий влияния перемещаем силу по заданной балке. Применяем статический метод. Удобнее начинать с того элемента, где находится исследуемый фактор. Так, например, для построения линий влияния реакции опоры J нужно располагать сначала на балке IG, затем на балке CI, а после на балке ВС (рис. 2.3, а).

Линии влияния R_A и M_A (рис. 2.3, б, в). Если сила находится на участке АВ, то реакции в шарнирах B, C, I и реакции в опорах D, H, J не возникают, в чем можно убедиться, составляя уравнения равновесия сначала для элемента ВС, затем CI и IG (рис. 2.3, а)

б)

а)

Рассмотрим элемент АВ (рис. 2.8, а). Из уравнения ΣY=0 определяем . Из уравнения ΣМ_А=0 находим ( ), при x₁=0, M_A=0 ( в точке А), при x₁=2м, M_A=-2м ( в точке В).

С

Рис. 2.8

троим линию влияния R_A и M_A на участке АВ (рис. 2.3, б, в). Когда сила перемещается на участке BC (рис. 2.8,б), то в шарнире В на элемент АВ передается сила , равная по величине реакции балки ВС и противоположная ей по направлению. Из уравнения равновесия балки ВС:

получаем ( ). Сила вызывает в заделке балки АВ реакции и M_A, которые получим из условий равновесия балки АВ:

, .

При x₂=0, R_A=1, M_A=-2м ( в точке В), при x₂=3, R_A=0, M_A=0 ( в точке С).

Строим линии влияния и M_A на участке ВС (рис. 2.3, б, в). При перемещений силы на участках CI и IG (рис. 2.3, а) R_A=0, M_A=0 , так как реакция R_В в шарнире В равна нулю, ввиду отсутствия нагрузки на балке ВС.

Линия влияния R_D (рис. 2.3, г). Располагаем груз на балке CI (рис. 2.9, а). Из уравнения равновесия элемента CI:

ΣМ_I=0,

имеем ( ).

При x₁=0, R_D=1, при x₁=4м, R_D=0, при x₁=-2м, R_D=1,5.

П

а)

о этим значениям строим линию влияния R_D на участке CI.

Располагаем груз на балке ВС (рис. 2.9, б). Из уравнения равновесия балки ВС:

б)

ΣМ_В=0, имеем ( ).

В

Рис. 2.9

шарнире С на балку CI передается сила , равная по величине реакции вызывает на опоре D реакцию, выражение для которой получим из уравнения равновесия балки CI:

ΣМ_I=0, .

Тогда , при x₂=3м, R_D=1,5. Достраиваем линию влияния R_D на участке ВС. При перемещении силы на основных балках АВ и IG реакция R_D=0, так как в этом случае второстепенные балки ВС и СI будут на загружены.

Линия влияния R_H и R_J (рис. 2.3, д, е). Располагаем груз на балке IG (рис. 2.10, а). Из уравнений равновесия балки IG

,

имеем , ( ).

При x₁=0 ( в точке H) R_H=1, R_J=0;

при x₁=5м ( в точке J) R_H=0, R_J=1;

при x₁=-3м ( в точке I) R_H=1,6, R_J=-0,6.

Строим линии влияния R_H и R_J на участке IG.

Перемещаем груз на балку CI (рис. 2.10, б). Из уравнения равновесия балки CI ( )

.

Сила вызывает на опорах H и J балки IG реакции R_H и R_J, которые получим из уравнения равновесия балки IG:

, .

Тогда , .

При x₂=0 ( в точке D) R_H=0, R_J=0;

при x₂=4м ( в точке I) R_H=1,6, R_J=-0,6;

при x₂=-2м ( в точке C) R_H=-0,8, R_J=0,3.

Рис. 2.10

По этим значениям строим линии влияния R_H и R_J на участке CI.

Сила находится на участке ВС (рис. 2.10, в). В этом случае из уравнения равновесия балки ВС имеем ( ). Тогда из уравнения равновесия балки CI получим

,

затем, рассматривая равновесие балки IG, окончательно получим

, .

При x₃=0 ( в точке B) R_H=0, R_J=0;

при x₃=3м ( в точке C) R_H=-0,8, R_J=0,3.

Достраиваем линии влияния R_H и R_J на участке ВС. Если сила будет находиться на основной балке АВ, то R_H=0, R_J=0, так как в этом случае отсутствуют реакции в шарнирах В, С, I и балка IG будет не загружена.

Линия влияния Q_K и M_K (рис. 2.3, ж, з). Пусть сила находится на участке СК. (рис. 2.11, а). Из равновесия части СК получим

, ( ).

В

С

а)

П

К

ри x₁=0 M_K=-1,5м; при x₃=1,5м, M_K=0 .

С

К

В

б)

К

C

C

троим часть линий влияния Q и M_K на участке СК. Пусть сила находится справа от сечения К (рис. 2.11, б), тогда, рассматривая равновесие части СК, получим M_K=0, Q_K=0.

в)

С

С

D

K

При нахождении груза на балке ВС (рис. 2.11, в) реакция ( ). В шарнире С сила вызывает в сечении К:

Рис. 2.11

и .

При x₂=0, Q_K=0, M_K=0;

при x₂=3м, Q_K=1, M_K=-1,5м.

Достраиваем линии влияния Q_К и M_K на участке ВС. Если сила находится на балке АВ, то Q_K=0 и M_K=0, так как в этом случае реакция R_C=0.

Линии влияния Q_S и M_S (рис. 2.3, и, к). Пусть сила находится на балке IG, но справа от сечения s, т.е. на участке SG (рис. 2.12, а). Выражаем Q_S и M_S из равновесия части IS, тогда Q_S=R_H, M_S=R_H ּ2м. Эти выражения позволяют, используя линию влияния R_H (рис. 2.3, д), построить правую часть линии влияния Q_S и M_S (на участке SG). То есть ординаты линии влияния Q_S равны ординатам линии влияния R_H , а ординаты линии влияния M_S равны ординатам линии влияния R_H с множителем 2м. Пусть сила находится слева от сечения S (на участке IS, на второстепенных балках CI и BC или на основной балке АВ (рис. 2.12, б). В этом случае из равновесия части SG получим Q_S=-R_J, M_S=R_J ּ3м. Эти выражения позволяют, используя линию влияния R_J (рис. 2.3, е), построить левую часть линии влияния Q_S и M_S (слева от сечения S). Для этого ординаты линии влияния Q_S принимаем равными ординатам линии влияния реакции R_J , но с обратным знаком, а ординаты линии влияния M_S берем с множителем 3м. Окончательные линии влияния показаны на рис. 2.3, и, к.

С

В

D

I

2м

R_J

А

С

R_H

H

G

S

J

I

S

R_H

R_J

С

В

D

J

S

А

C

H

G

I

S

3м

Рис. 2.12

Определение усилия по линиям влияния. При загружении n сосредоточенными силами величиной Р_i и m, равномерно распределенными по нескольким участкам нагрузками интенсивностью q_i значение усилия S по линии влияния этого усилия может быть определенно по формуле:

, (2.2)

где y_i- ордината линии влияния S под силой P_i; ω_i- площадь фигуры, ограниченной линией влияния S, на участке действия нагрузки q_i (площадь линии влияния).

Используя формулу (2.2), вычислим, например, реакции R_H и R_J, а также Q_К, M_K,Q_S и M_S от неподвижной нагрузки в заданной многопролетной балке (рис. 2.2, а) по линиям влияния соответствующих усилий (рис. 2.3, д – 2.3, к).

;

;

; ;

;

.

Приведенные результаты вычислений R_H , R_J, Q_К, M_K, Q_S, M_S совпадают с выше приведенными аналитическими вычислениями.

Задача 2.2. Для рам , схемы которых изображены на рис. 2.13:

а) определить величины опорных реакций;

б) построить эпюры внутренних силовых факторов.

Исходные данные взять из табл. 2.2

Таблица 2.2

№ строки	номер схемы		l м	h м	а м	р кН	q кН/м
	Вариант А	Вариант В
1	1	11	32	16	6	8	4
2	2	12	30	14	4	10	5
3	3	13	28	12	4	8	6
4	4	14	26	10	3	7	4
5	5	15	24	10	3	6	5
6	6	16	22	12	4	5	6
7	7	17	24	14	4	6	4
8	8	18	26	16	6	8	5
9	9	19	20	14	4	10	6
0	10
	е		д		е	д

1

9

8

7

6

5

4

3

2

10

Рис. 2.13