Построение эпюр внутренних силовых факторов

Литература: [1] §12.2; [3] §14; [4] §III.I; [5] §2.1; [12] §2.2

Задача 1.1 Для балок, схемы которых представлены на рис. 1.1, построить эпюры поперечных сил Q и изгибающих моментов М.

Исходные данные взять из таблицы 1.1

Таблица 1.1

№ строки	номер схемы		l1 м	l2 м	L3 м	М кНּм	Р кН	q кН/м
	Вариант А	Вариант В
1	1	11	2	6	2	–	10	2
2	2	12	1	8	3	5	–	1
3	3	13	3	6	2	–	20	6
4	4	14	2	4	1	10	–	2
5	5	15	4	8	4	–	15	1
6	6	16	3	5	3	8	–	4
7	7	17	2	10	1	–	12	3
8	8	18	3	7	4	2	–	2
9	9	19	5	8	2	–	20	1
0	10		3	6	4	4	–	4
	е	е	е	г	д	д	д	е

Пример выполнения задачи 1.1. Для балки, представленной на рис. 1.2,а построить эпюры Q и M.

Решение. Определение опорных реакций.

Составим уравнения суммы моментов всех сил относительно опорной точки А (рис. 1.2,а).

, отсюда получим R_B=50кН.

Рис. 1.1

1

2

3

7

6

5

4

10

9

8

Рис. 1.1 Окончание

11

12

13

17

16

15

14

19

18

Из уравнения суммы моментов относительно точки В

определяем опорную реакцию R_А=30кН

Для проверки полученных реакций проецируем все силы на ось

.

Построение эпюр Q и M. Балка имеет пять грузовых участков.

Участок 1 (рис. 1.2, а, ). Проводим сечение 1-1.

Отбрасываем правую часть балки и рассматриваем равновесие левой части (рис. 1.2, б), т.к. для нее уравнения включают меньшее число слагаемых.

, отсюда определяем

;

Из уравнения

находим .

Участок 2 (рис. 1.2, а ), . Проводим сечение 2-2 и рассматриваем равновесие левой части балки (рис. 1.2,б). Из уравнения равновесия определяем Q₂ и M₂:

;

Участок 3 (рис. 1.2, а, ). Рассматриваем равновесие части балки, расположенной правее сечения 3-3 (рис. 1.2, б).

Запишем уравнение для М₃ и Q₃ :

; .

Участок 4 (рис. 1.2,а, ). Для определения М₄ и Q₄ рассматриваем равновесие части балки, расположенной правее сечения 4-4:

.

в)

а)

б)

г)

Рис. 1.2

Для определения положения сечения, где момент М₄ принимает экстремальное значение, приравняем поперечную силу Q₄ к нулю

Q₄=0; ; x₄=3м.

Подставляя значение X₄ в уравнение М₄ , находим

.

Участок 5 (рис. 1.2,а, ). Рассмотрим равновесие части консоли (рис. 1.2, б) и запишем выражения для М₅ и Q₅ :

.

Эпюры Q и M для всей балки показаны на рис. 1.2, в, г.

Задача 1.2. Для рам, схемы которых представлены на рис. 1.3, построить эпюры поперечных, продольных сил и изгибающих моментов. Исходные данные взять из таблицы 1.2.

Таблица 1.2

№ строки	номер схемы		l1 м	l2 м	l3 м	М кНּм	Р кН	q кН/м
	Вариант А	Вариант В
1	1	11	6	4	3	100	–	10
2	2	12	8	2	2	–	15	20
3	3	13	4	6	3	200	–	15
4	4	14	10	4	2	–	20	12
5	5	15	6	2	3	120	–	10
6	6	16	8	3	4	–	24	15
7	7	17	5	4	2	100	–	20
8	8	18	10	2	4	–	14	10
9	9	19	8	2	6	150	–	12
0	10		5	3	4	–	20	15
	е	е	Е	г	д	д	Д	Е

Рис. 1.3

1

2

3

7

6

5

4

10

9

8

Рис. 1.3 Окончание

1

2

3

7

6

5

4

9

8

Пример выполнения задачи 1.2. Для рамы, изображенной на рис.1.4,а, построить Q, M, и N.

Решение. Определение опорных реакций.

Для определения реакций R_A составим уравнение суммы моментов относительно шарнира С (рис. 1.4, а) для левой части рамы

; .

Получим

Реакции в защемлении В определим из уравнений равновесия, составленных для всей системы:

; ;

; ;

; .

Получим

;

Н_В=Р=10кН; R_B=5q-R_A=5ּ10-30=20 кН.

Проверка. Составим сумму моментов относительно точки А( рис. 1.4, а):

; .

Построение эпюр M, Q, N. При составлении уравнений для изгибающих моментов М₁ предполагаем внутренние волокна рамы растянутыми.

Участок 1 (рис.1.4, а, ). Запишем уравнения для М₁ , Q₁ , и N₁ , действующих на участке АК (рис. 1.4, б):

; ; .

Знак "минус" перед выражением М₁ показывает, что на участке АК растянуты внешние волокна.

Участок 2 (рис. 1.4, а, ). Рассматриваем равновесие части рамы, расположенной левее сечения 2-2 (рис. 1.4, в).

Определяем M₂, Q₂ и N₂:

;

; .

На данном участке изгибающий момент изменяется по закону квадратной параболы. Для определения экстремальной величины M₂ найдем значение x₂ , при котором Q₂ равно нулю

Q₂=0; 30-10x₂=0; x₂=3м;

подставляя в M₂ , находим

Участок 3 (рис. 1.4,а, ). Уравнения для определения M₃, Q₃ и N₃ удобнее записать для части рамы, расположенной ниже сечения 3-3 (рис. 1.4, г):

М₃=-М_В -Н_Вּx₃=25-10x₃;

Q₃=Н_В=10кН; N₃=-R_В=-20кН.

Исходя из составленных уравнений, строим эпюры M, Q и N (рис. 1.4, д, е, ж).

Выполним статические проверки построенных эпюр. Вырезаем узлы рамы и составляем уравнения суммы моментов для каждого из них (рис. 1.4, з, и):

ΣМ_К=М₂-М₁=40-40=0;

ΣМ_D=М₂+М₃-М=15+5-20=0.

Рассекая раму по стойкам, рассмотрим равновесие верхней части (рис. 1.4, к). Спроектируем все силы на оси x и y :

ΣX=N₁-5q+N₂=30-50+20=0;

ΣY=Q₁-Q₃=10-10=0.

Проверки показывают, что все расчеты выполнены правильно.

Контрольная работа №2