8.2. Расчет рам и балок с конечным числом степенейсвободы на действие вибрационной нагрузки

Литература: [5] $$2.8, 3.1; [7] $$2.1, 2.2; [9] $$13.1-13.7.

Задача 8.2 Для рам и балок, схемы которых представлены на рис. 8.3, построить эпюры динамических моментов при действии вибрационной нагрузки , при .

Исходные данные принять из табл. 8.3

Таблица 8.3

№ строки	Номер схемы		L (м)	h м	D КН		К
	д+е 10	д+е>10
1	1	11	6	2	10	2	0.4
2	2	12	8	3	6	1	0.6
3	3	13	4	2	4	3	0.8
4	4	14	9	3	5	2	0.3
5	5	15	6	4	8	4	0.9
6	6	16	4	3	9	3	0.4
7	7	17	5	2	3	2	0.5
8	8	18	8	3	2	1	0.7
9	9	19	9	2	7	3	0.8
0	10		7	4	5	4	0.6
	е		E	г	д	е	г

Пример выполнения задачи 8.2. Построить эпюру динамических изгибающих моментов (рис. 8.4,а) при действии вибрационной нагрузки , если (h=2м, l=4м, Р=5кН, EJ=const).

Решение. Рассмотрим свободные колебания. Система имеет две степени свободы. Запишем для нее уравнения относительно амплитуд y_i собственных колебаний:

;

. (8.4)

Для определения собственных колебаний приравняем к нулю определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных перемещениях (8.4) y₁ и y₂.

. (8.5)

Раскрывая определитель (8.5), получим следующее уравнение частот

(8.6)

Решение уравнения (8.6) имеет вид

. (8.7)

В данной системе (рис. 8.4, а) m₁=m₂=m и уравнение (8.7) примет вид

. (8.8)

Для определения коэффициентов δ₁₁, δ₁₂, δ₂₂ загружаем заданную систему поочередно единичными силами и по направлению перемещения массы m. Строим эпюры изгибающих моментов и (рис. 8.4, в). "Перемножая" эпюры по способу Верещагина, вычисляем коэффициенты:

;

Рис. 8.3

Рис.8.3 Окончание

Рис. 8.4

;

.

Подставляя значения δ₁₁, δ₁₂, δ₂₂ в уравнение (8.8), получим

; ; ; ; .

Определим отношение амплитуд перемещений масс при первой частоте ω₁ свободных колебаний. Из первого уравнения системы (8.4) находим

.

Первая форма колебаний представлена на рис. 8.4, е.

Аналогично при второй частоте свободных колебаний ω₂

.

Рассмотрим вынужденные колебания системы. Уравнения для определения сил инерции X₁ и X₂ имеют вид:

где , .

Для получим:

;

.

Для определения Δ_1p и Δ_2p строим эпюру изгибающих моментов М_р в раме от амплитудного значения внешней вибрационной нагрузки Р=5кН (рис. 8.4,г)

; .

Здесь результаты Δ_1p и Δ_2p соответствуют в 5 раз увеличенным результатам коэффициентов δ₁₁ и δ₁₂, т.к. эпюра М_р подобна эпюре М₁ (рис.8.4,б). Подставляя значения коэффициентов , δ₁₂, Δ_1p и Δ_2p в уравнение (8.9) и сокращая на 1/EJ, получаем:

-373,33X₁+24X₂+400=0;

24X₁-374,67X₂+120=0.

Решая систему уравнений, определяем силы инерции массы X₁ и X₂:

X₁ =1,097 кН.; X₂=0,391 кН.

Эпюру динамических изгибающих моментов строим, используя формулу

.

Эпюра представлена на рис. 8.4, д.