Расчет на устойчивость и динамический расчет упругих стержневых систем

8.1 Расчет плоской рамы на устойчивость методом перемещений

Литература: [1] §10.3; [10] §§9-11; [8] §§3.1-3.3; [11] §12.13.

Задача 8.1 Для статистически неопределимых рам, схемы которых изображены на рис. 8.1, определить значения критических нагрузок, используя метод перемещений. Построить формы потери устойчивости рам, соответствующие найденным значениям критических нагрузок. Жесткость на изгиб вертикальных стержней равна EJ₁=2ּ10⁵ Н ּм², горизонтальных– EJ₂ . Остальные данные взять из табл. 8.1

Таблица 8.1

№ строки	Номер схемы				L1 м	l2 м	l3 м
	д+е 10	д+е>10
1	1	11	1,2	1:2	5	6	8
2	2	12	1,4	1:3	3	4	5
3	3	13	1,6	3:2	4	8	4
4	4	14	1,8	2:1	6	10	6
5	5	15	2,0	2:3	3	5	4
6	6	16	1,0	1:1	4	4	5
7	7	17	0,8	3:1	2	6	3
8	8	18	0,6	1:1	3	8	6
9	9	19	0,4	3:4	5	10	4
0	10		1,5	4:3	6	5	8
	е		д	е	г	е	д

Пример выполнения задачи 8.1

Схема рамы, действующая нагрузка и основные геометрические размеры показаны на рис. 8.2, а. Отношение жесткостей стержней рамы =2, а внешних сил ; .

Рис. 8.1

Рис. 8.1 Окончание

Решение. Рама дважды кинематически неопределима. Основная система метода перемещений (МП) показана на рис. 8.2, б. Определим параметры критической нагрузки V_i ; для стержней, испытывающих сжатие (стержни 1 и 2 на рис. 8.2, б)

; ; .

Система канонических уравнений МП имеет вид:

r₁₁ Z₁+r₁₂ Z₂ = 0;

r₂₁ Z₁+r₂₂ Z₂ = 0. (8.1)

Для нахождения коэффициентов r_ij (i, j=1,2), входящих в (8.1), построим в основной системе с помощью таблицы 8.2 эпюры изгибающих моментов от единичных перемещений z_i=1 и рассмотрим равновесие узла А и верхней части рамы (рис. 8.2, д). Используя статический метод (см. контрольную работу №7), обычным путем вычислим коэффициенты r_ij системы (8.1)

.

Система уравнений (8.1) имеет ненулевое решение (z_i≠0), если определить, составленный из коэффициентов r_ij, равен нулю, т.е.

. (8.2)

Раскрывая определитель и подставляя найденные значения коэффициентов r_ij в (8.2), приходим и следующему трансцендентному уравнению устойчивости

(8.3)

или . (8.3)

решение которого находим методом последовательных приближений. Параметр v=v₂ для второго стержня может изменяться в следующих пределах π/2<v<π/0,7. Нижний предел соответствует балке, защемленной с одной стороны и свободной с другой (μ=2), а верхний–защемленной с одной стороны и шарнирно опертой с другой стороны (μ=0,7, рис. 8.2, е). Учитывая при этом, что стойки рамы находятся в условиях, близких к нижнему пределу, задаемся следующими значениями V:

1) v=v₂=2,0; v₁=1,1v=2,19.

По таблице 8.4 последовательно находим:

φ₂(v₁)=0,8290; φ₄(v₁)=0,9172; η₂(v₁)=0,5176; η₁(v₂)=-0,6372.

Отсюда определяются значения коэффициентов r_ij и определителя D:

r₁₁=2,853 EJ₂ r₁₂=-0,3057 EJ₂; r₂₂=0,0398 EJ₂; D=0,02(EJ₂)²>0.

2) v=v₂=2,1; v₁=2,31. Аналогично вычисляем:

φ₂(v₁)=0,8081; φ₄(v₁)=0,9075; η₂(v₁)=0,4628; η₁(v₂)=-0,8103;

r₁₁=2,825 EJ₂; r₁₂=-0,3025 EJ₂ ; r₂₂=0,0289 EJ₂; D=0,01(EJ₂)²<0.

На интервале 2,0<v<2,1 изменяется знак определителя D. Следовательно, в указанном интервале находится корень уравнения устойчивости (8.3). Принимая, что на интервале 2,0<v<2,1 функция D изменяется по линейному закону, построим в масштабе график изменения определителя D в зависимости от параметра v (рис. 8.2, ж). Точка пересечения построенной прямой приближенно определяет корень решения уравнения (8.3): v=v₂=2,07; v₁=2,27.

Критическая нагрузка для рассматриваемой рамы:

.

Для нахождения формы потери устойчивости, соответствующей найденным значениям критических нагрузок, подставим значения коэффициентов r_ij в первое или второе уравнения системы канонических уравнений (8.1) МП ( φ₂(v₁=2,27)=0,8152; φ₄(v₁)=0,9108; η₂(v₁)=0,4814; η₁(v₂=2,07)= – 0,7573; r₁₁=2,837EJ₂; r₁₂=-0,3031EJ₂ ; r₂₂=0,0324 EJ₂).

; .

z₁=0,107z₂. Форма потери устойчивости рамы (z₂=1; z₁=0,107) показана на рис. 8.2, з.

Рис. 8.2

Таблица. 8.3