Расчет статически неопределимой рамы методом перемещения

Литература: [1] §§7.1-7.8, 7.11; [2] §§190-197; [3] §§67-70; [4] §XIII.1; [7] §3.1; [11] §§7.1-7.6; [12] §§6.1, 6.2.

Задача 7.1 Для заданной статически неопределимой рамы с размерами и нагрузкой, выбранными по шифру из табл. 7.1, требуется построить эпюры изгибающих моментов, поперечных и продольных сил.

Таблица 7.1

№ строки	Номер схемы		P кН	q кН/м	l м	h м	EJ2/EJ1
	Вариант А д+е 10	Вариант В д+е>10
1	1	11	– 12		6 4		1:2
2	2	12	30 –		8 6		2:3
3	3	13	– 10		6 5		1:3
4	4	14	50 –		5 4		1:2
5	5	15	– 6		6 6		2:3
6	6	16	20 –		6 4		1:3
7	7	17	– 12		8 6		1:2
8	8	18	40 –		6 5		2:3
9	9	19	– 10		5 4		1:3
10	10		50 –		6 6		1:2
	е	е	д		г		е

Схемы рам приведены на рис. 7.1.

Пример выполнения задачи 7.1

Для рамы (рис. 7.2, а) построить эпюры изгибающих моментов, поперечных и продольных сил от действия внешней нагрузки, принимая жесткость на изгиб горизонтальных элементов в два раза больше вертикальных.

Решение. Определим степень кинематической неопределимости заданной системы: n_y=2 (узлы А и В, рис. 7.2, а), n_π=W=2У–C–C₀=2ּ5–4––5=1 (рис. 7.2, а), n=n_у+ n_π=2+1=3. Введя дополнительные жесткие связи в узлы А и В и опорный стержень в узел C, препятствующим угловым (1,2) и линейным (3) перемещениям узлов системы, получим основную систему (рис.7.2, б).

Запишем систему канонических уравнений метода перемещений:

r₁₁ Z₁+r₁₂ Z₂+ r₁₃ Z₃+R_1p=0,

r₂₁ Z₁+r₂₂ Z₂+ r₂₃ Z₃+R_2p=0,

r₃₁ Z₁+r₃₂ Z₂+ r₃₃ Z₃+R_3p=0.

Используя таблицу 7.2, построим в основной системе эпюры изгибающих моментов от единичных перемещений =1 (i=1, 2, 3) и заданной нагрузки М_р (рис. 7.2 в, г., 7.3 а, б).

Вычислим коэффициенты и свободные члены системы канонических уравнений, применяя статический метод. Для определения коэффициентов, представляющих собой реактивные моменты, рассмотрим последовательно равновеси е узлов А и В. Записывая для них сумму моментов по эпюре (рис. 7.5 а, б), находим:

; ;

; .

Аналогично по эпюрам , и M_p (рис. 7.5, в, г, д, е, ж)

Вычисляем:

, , , ;

R_1p=0; R_2p=20 кНּм.

Для определения коэффициентов и свободных членов, представляющих собой реактивные усилия во введенном опорном стержне (узел С), рассмотрим равновесие отсеченной части рамы на эпюрах , M_p. Спроектировав действующие силы на горизонтальную ось, находим (рис. 7.5, з – 7.5, л):

; ; ; R_3p=-25 кН.

Подставляя вычисленные значения коэффициентов r_ik и R_ip в систему уравнений (7.1) и решая ее, найдем неизвестные:

Строим окончательную эпюру изгибающих моментов, используя известную формулу сложения

.

Единичные эпюры изгибающих моментов , умноженные на значения неизвестных z_i , показаны на рис. 7.3, а, в, г. По эпюре M^ok (рис. 7.4, б) строится эпюра N (рис. 7.4, г).

Для проверки правильности построения эпюры M^ok рассмотрим равновесие узлов А и В (рис 7.5, м, н):

, .

Для проверки правильности построения эпюр Q и N рассмотрим равновесие всей рамы (рис. 7.6), для чего спроектируем внешнюю нагрузку и внутренние усилия на вертикальную и горизонтальную оси:

; .

Правильность построения окончательной эпюры М может быть проверена также примерами, которые применялись в методе сил. Но в методе перемещений более важной проверкой является выполнение равновесия моментов в жестких узлах. Невыполнение условия равновесия узлов ( ) в окончательной эпюре свидетельствует о неправильном определении значений неизвестных.

Необходимо проверить правильность вычисления коэффициентов системы канонических уравнений. Эта проверка выполняется аналогично проверке коэффициентов уравнений при расчете конструкций методом сил. Для этого строится эпюра в основной системе алгебраическим суммированием всех единичных эпюр. Умножив эту эпюру последовательно на каждую из единичных эпюр, получим сумму коэффициентов при неизвестных в соответствующим уравнении.

Проверка грузовых коэффициентов сводится к вычислению

.

Умножением эпюры , от нагрузки в статически определимой системе (полученной из заданной системы или основной системы методом перемещений устранением лишних связей, в том числе обязательно тех, реакции которых определяются) на эпюру .

Рис. 7.1

Рис. 7.1 Продолжение

Рис. 7.1 Окончание

Рис. 7.2

Рис. 7.3

Рис. 7.4

Рис. 7.5

Таблица 7/.2

Рис. 7.6

Контрольная работа №8