2.4. Оценка точности результатов непрямых измерений.

Пусть некоторая величина U, измеренная непрямым способом, связана с величинами x, у ..., t, которые определены прямыми измерениями, может быть задана функциональной зависимостью:

. (1.7)

Математическая обработка результатов непрямых измерений осуществляется по-разному в случаях, когда аргументы постоянны и когда они переменные. Следует объяснить эти случаи на примере определения ускорения свободного падения g по формуле .

Можно выполнить серию измерений времени падения t, бросая тело каждый раз с одной и той же высоты h. Это и является случаем постоянных аргументов. Правда, значение t₁, t_{2 .} все-таки будут разными, но это различие небольшое и полностью обусловлено случайными ошибками измерений. Ряд значений t₁, t_2. должен быть математически обработан, как было отмечено выше, то есть должны быть найдены и .

В другом варианте измерений можно в каждом случае бросать тело с произвольной высоты, не стремясь к тому, чтобы она оказалась одинаковой. Это и будет случай переменных аргументов. Очевидно, что в этом случае вычислять среднее арифметическое величин h_i или величин t_i было бы совсем бессмысленно.

Рассмотрим каждый из этих случаев.

2.4.1. Случай переменных аргументов.

По результатам прямых измерений в каждом опыте (x_i, y_i, …) необходимо вычислить значение побочно измеряемой величины U_i. Полученный ряд значений U₁, U₂, … нужно математически обработать, как это делается для прямо измеряемой величины, то есть найти и . Такой подход полностью естественен, поскольку значение U₁, U₂, … различаются несущественно, только через случайные ошибки измерения. Следует отметить, что в рассмотренном случае ошибки приборов, которые измеряют величины x, у, влияют на величину U как случайные, потому что для разных значений аргумента они имеют разные модули и знаки. Поэтому, в отличие от прямого измерения, дополнительный учет погрешностей прибора здесь не нужен, величина является наибольшей погрешностью измерений.

Вычисление удобно записать в виде таблицы (табл. 1.1 составленная для рассмотренного выше примера определения g).

Таблица 1.1

Пример таблицы для определения g

№ измерения	h, м	t, c	g, м/с2
1 2 3
	Среднее значение

Окончательный результат: .

2.4.2. Случай постоянных аргументов.

В этом случае можно было бы поступить, как в предыдущем, но это был бы слишком трудоемкий процесс (особенно, когда аргументов много), а приборные погрешности остались бы неучтенными. Поэтому действуют иначе.

Очевидно, что максимально точным значением величины U является значение которые получают при подстановке в формулу, которая определяет эту величину, средних значений аргументов …, :

. (1.8)

Теперь необходимо вычислить наибольшую погрешность точнее говоря, выразить ее через .

Оказывается, что в большинстве случаев проще сначала вычислить относительную погрешность , а затем найти наибольшую абсолютную погрешность результата непрямых измерений, умножая на /U (фактически множат на ).

Ниже показано, как это можно сделать.

По определению, относительная погрешность непрямого измерения . Поскольку то:

. (1.9)

Следовательно, для определения  необходимо:

1) прологарифмировать функцию U и найти полный дифференциал от логарифма, взяв все частичные дифференциалы по модулю (для вычисления максимальной ошибки);

2) заменить знаки дифференциала d знаками конечных приращений ;

3) подставив в полученное выражение средние значения аргументов …, и их средние абсолютные погрешности , вычислить относительную погрешность  результата. Зная относительную погрешность  результата, не трудно вычислить и его среднюю абсолютную погрешность:

. (1.10)

Тогда окончательный результат непрямих измерений подается в виде .

Пример. В процессе вычисления коэффициента поверхностного натяжения  воды методом отрыва кольца используется следующая формула:

(1.11)

где F – сила поверхностного натяжения;

D₁ – внешний диаметр кольца;

d – толщина кольца.

F, D₁ и d определяются методом прямых измерений. Необходимо вычислить , , і , , как показано раньше, после чего выполнить пп. 1 – 3;

;

(1.12)

или

;

(1.13)

Если функцию (1.7) невозможно прологарифмировать, то сначала нужно определить среднюю абсолютную погрешность как полный дифференциал этой функции, заменив знак d на и взяв все частичные дифференциалы по модулю (для определения наибольшего значения ), то есть:

и

. (1.14)

Подставив в выражение (1.14) средние значения …, и их средние абсолютные погрешности

%. (1.15)

Если в выражение (1.7) входят константы ( , , …) или величины, предварительно измеренные, и параметры лабораторной установки, то за среднюю абсолютную ошибку принимают величину, которая равняется единице (половинк единишы) наименшего разряда, заданого в числе.

Примеры: = 3,14; = 0,01. m = 125,3; = 0,1.