2. Измерения физических величин, математические методы обработки и погрешности результатов измерений

1. Об измерении физической величины.

Естественные науки, физика, химия и др., – науки экспериментальные, количественные. Это значит, что часто законы устанавливаются и проверяются путем накопления и сопоставления экспериментальных данных. Свойства, какие характерны для объектов вещественного мира, могут быть охарактеризованы физическими величинами. Физическая величина определяет какое-то одно свойство материи. Например, работа характеризует свойство материальных тел передавать друг другу некоторое количество энергии во время их взаимодействия.

Результаты экспериментов в естественных науках подаются чаще всего набором некоторых чисел. Законы формулируются в виде математических формул, которые связывают между собой числовые значения физических величин. В связи с этим необходимо научиться правильно измерять числовые значения физических величин и правильно сопоставлять их с формулами.

Измерять физическую величину – значит сравнить ее с другой однородной величиной, принятой за единицу измерения.

Принято различать два основных вида измерений.

1. Прямые измерения – измерения, во время которых результат следует из экспериментальных данных нескольких измерений одной и той же величины. К таким принадлежат измерения, осуществляемые или с помощью приборов, градуированных предварительно в определенных единицах, или путем непосредственного сравнения измеряемой физической величины с ее мерами. Например, измерение длины – метром, величины тока – амперметром, времени – секундомером.

2. Непрямые измерения – измерения, в процессе которых искомую величину получают на основе экспериментальных данных прямых измерений нескольких разных величин, связанных с определенной функциональной зависимостью. Прибегать к такому приему приходится потому, что прямые измерения в некоторых случаях могут дать недостаточно надежные результаты или оказаться очень сложными, а иногда и совсем невозможными. Например, кинетическая энергия тела легко находится из формулы:

где m – масса тела; v – скорость тела.

В ходе выполнения вычислений необходимо всегда руководствоваться практически необходимой точностью. Выполнять вычисление с большей точностью, чем этого допускают данные задачи, бессмысленно.

Разница между точным числом х и его приближенным значением а называется абсолютной погрешностью данного приближенного числа:

 = х – а.

Если абсолютная погрешность величины а не превышает единицы разряда последней цифры числа а, то считают, что в числа а все знаки правильны. Два числа считают одинаково точными, если относительные погрешности этих чисел допущенные во время округления, одинаковые.

В процессе записи результатов измерений и погрешностей необходимо округлять числа. Во время округления оставляют лишь правильные знаки числа, все другие отбрасывают. При этом пользуются общеизвестными правилами округления чисел. А именно, правилом дополнения, то есть увеличивают последнюю из цифр, что остается, на единицу, если первая из тех, которые отбрасываются, больше, чем 5, и оставляют последнюю из тех, которые остаются, неизменной, если первая из тех, которые отбрасываются, меньше, чем 5. Если часть, которая отбрасывается, состоит только из одной цифры 5, то округление обычно делается так, чтобы последняя цифра осталась парной. Например, округляя число = 3,14159265... к третьему знаку после запятой, получим = 3,142.

Правила округление в случае математических операций над числами:

1.В процессе добавления и вычитания округления всех чисел выполняется к разряду, на единицу меньше, чем разряд наименее точного числа. В окончательном результате хранят столько значимых цифр, сколько их в наименее точном числе, которое входит в операцию:

4,20 + 0,353 - 2,211 = 2,34.

2. Во время умножения и деления приближенных чисел в итоге хранят столько значимых цифр, сколько их имеет наименее точное приближенное число:

5,048  2,6 13,0.

3. При возведении в степень хранят в итоге столько значимых цифр, сколько их имеет возведенное к степени число:

(1,25) ² = 1,5625 1,56.

4. В процессе добывания корня результат вычисляется до стольких значимых цифр, сколько их имеет подкоренное число:

.

5. Пользуясь таблицами логарифмов, выбирают значение логарифма к числу знаков, которое равняется числу знаков в логарифмированном числе:

lg77,23 2,8878 2,888.

Если соответствующая операция является промежуточной, то в ее результате стоит брать на одну значимую цифру больше, чем отмечено в правилах, а в окончательном результате последнюю цифру отбрасывать с соблюдением правил округления.