4. Линейная зависимость векторов

Пусть а, b,…, е – векторы линейного векторного пространства, а , ,…,  – действительные числа.

Вектор

называется линейной комбинацией векторов а, b,…, е, а числа , ,…,  – коэффициентами этой линейной комбинации.

Если , то х = 0. Но может быть и так, что существует линейная комбинация векторов а, b,…, е, у которой не все коэффициенты равны нулю, но, которая, тем не менее, равна нулю. В этом случае векторы а, b,…, е называются линейно зависимыми.

Иначе говоря, эти векторы будут линейно зависимыми, если найдутся такие действительные числа , ,…,  не все равные нулю, что

.

Если же это равенство выполняется только тогда, когда все числа , ,…,  равны нулю, то векторы а, b,…, е называются линейно независимыми.

Свойства линейно зависимых векторов

1. Если векторы линейно зависимы, то один из них может быть представлен в виде линейной комбинации остальных, и, обратно, если один из векторов есть линейная комбинация остальных, то векторы линейно зависимы.

2. Если некоторые из векторов а, b,…, е линейно зависимы, то и вся эта система векторов линейно зависима.

3. Если среди векторов а, b,…, е имеется хотя бы один нулевой, то эти векторы линейно зависимы.

4. Два коллинеарных вектора а и b линейно зависимы.

5. Два неколлинеарных вектора линейно независимы.

6. Три компланарных вектора линейно зависимы.

7. Три некомпланарных вектора всегда линейно независимы.

8. Любые четыре вектора пространства всегда линейно зависимы.

Задание 4. Даны векторы

, , и .

Доказать, что векторы а, b, с линейно независимы и найти разложение вектора х по векторам а, b, с.

Решение. Покажем, что векторы а, b, с – некомпланарны. Для этого найдем их смешанное произведение

.

Так как смешанное произведение отлично от нуля, то векторы а, b, с линейно независимы. В этом случае вектор х можно представить в виде линейной комбинации векторов а, b, с, то есть

,

где , ,  – неизвестные величины.

Для нахождения этих величин составим систему трех уравнений

, , ,

.

.

Решим эту систему, например, методом Крамера, получим

.

Таким образом,

.

5. Собственные значения и собственные столбцы матрицы

Пусть А – квадратная матрица порядка n. Если X – столбец высоты n, то произведение AX имеет смысл и также является столбцом высоты n.

При рассмотрении ряда вопросов для данной матрицы А приходится разыскивать ненулевые столбцы X, для которых умножение на А слева равносильно умножению на некоторое число , то есть имеет место равенство

AX = X. (17)

Нулевой столбец, безусловно, при любом  удовлетворяет этому соотношению. Однако ненулевые столбцы, удовлетворяющие условию (17), существуют далеко не при всяком .

Определение. Число  называется собственным числом квадратной матрицы А, если существует ненулевой столбец X такой что AX = X.

Если   собственное число матрицы А, то всякий столбец X (в том числе и нулевой), удовлетворяющий условию AX = X, называется собственным столбцом матрицы А, соответствующим собственному числу .

Что же представляют собой (и существуют ли они вообще) собственные числа данной квадратной матрицы?

Пусть

, .

Матричное равенство (17) равносильно системе n равенств

(18)

Перепишем (18) в виде

(19)

Существование ненулевого столбца X, удовлетворяющего условию (17), равносильно, таким образом, существованию ненулевого решения у системы (19). Но, как известно, однородная система (19) имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда ее определитель равен нулю, то есть когда

. (20)

Следовательно, собственные числа  матрицы А характеризуются тем, что для них обращается в нуль определитель (20).

Задание 5. Найти собственные значения и собственные столбцы матрицы

Решение. Составим характеристическое уравнение

или

откуда

Найдем собственный столбец , соответствующий собственному значению Для этого решаем матричное уравнение

или

Отсюда

(*)

Таким образом, столбцы (*) при любом являются собственными столбцами матрицы с собственным значением . Аналогично находятся собственные столбцы для собственного значения .