3. Элементы векторной алгебры

Произвольный вектор а может быть записан в виде

a = а_хi + а_yj + a_zk

Такое представление вектора а называется его разложением по осям координат, или разложением по ортам.

Здесь а_x, a_y, a_z – проекции вектора а на соответствующие оси координат или координаты вектора а.

Векторы а_xi, а_yj, а_zk называются составляющими (компонентами) вектора а по осям координат.

Длина (модуль) вектора определяется по формуле

.

Если векторы а и b заданы их разложением по ортам, то сумма и разность векторов определяется по формулам

,

.

Вектор , начало которого находится в начале координат, а конец – в точке М(x, y, z), называют радиусом-вектором точки М и обозначают r(М) или просто r (рис. 6). Так как его координаты совпадают с координатами точки М, то его разложение по ортам имеет вид

r = xi + yj + zk.

В векторной алгебре рассматриваются два вида произведения двух векторов: скалярное и векторное. Результатом скалярного произведения двух векторов является число (скаляр), результатом векторного умножения двух векторов является вектор.

Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению их длин (модулей), умноженному на косинус угла  между векторами, то есть

,

где и  модули векторов,   угол между ними.

Скалярное произведение векторов в координатной форме

,

то есть скалярное произведение двух векторов равно сумме произведений соответствующих координат этих векторов.

Векторным произведением неколлинеарных векторов а и b называется вектор с, длина которого равна площади параллелограмма, построенного на векторах а и b, который перпендикулярен плоскости этого параллелограмма и направлен так, что, если смотреть с его конца, то кратчайший поворот от вектора а к вектору b происходит против часовой стрелки (рис. 7). В случае если векторы а и b коллинеарны, их векторным произведением называется нулевой вектор.

Итак, по определению, если

,

то ,

где   угол между векторами а и b.

Векторное произведение не подчиняется переместительному закону, то есть для любых векторов а и b

.

Векторное произведение двух векторов а и b в координатной форме

или условно в виде

Смешанное произведение векторов имеет вид

.

Результатом смешанного произведения является число. Если а, b, с некомланарны, то это число равно объему параллелепипеда, построенного на векторах а, b, с, взятому со знаком плюс, если взаимное расположение векторов а, b, с совпадает с взаимным расположением осей координат (0х, 0у, 0z) и со знаком минус в противном случае.

В общем случае

.

Смешанное произведение обращается в нуль в том и только в том случае, если векторы компланарны.

Пусть в пространстве xyz заданы точки М₁(х₁, y₁, z₁), М₂(х₂, y₂, z₂), М₃(х₃, y₃, z₃), М₄(х₄, y₄, z₄).

Можно найти:

1. Координаты векторов

,

,

и т. д.

2. Длины векторов

,

,

.

3. Угол  между векторами, например, и

,

где

 скалярное произведение векторов.

4. Площадь треугольника М₁М₂М₃

,

где  векторное произведение векторов.

5. Объем параллелепипеда М₁М₂М₃М₄

,

где  смешанное произведение векторов.

Задание3. Даны координаты вершин пирамиды М₁М₂М₃М₄.

Найти:

1. Длину ребра М₁М_2.

2. Угол между ребрами М₁М₂ и М₁М₄.

3. Площадь грани М₁М₂М₃.

4. Объем пирамиды.

Решение. М₁(4; 2; 5); М₂(0; 7; 2); М₃(0 ; 2; 7); М₄(1; 5; 0).

1. Найдем координаты вектора

.

Длина вектора .

2. Угол между ребрами и найдем с помощью формулы

,

, ,

,

.

3. Площадь грани М₁М₂М₃ определим с помощью формулы

.

Найдем координаты вектора

.

.

.

.

4. Объем пирамиды равен

,