Методические указания к контрольной рабоТе

для студентов ОЗО 1 курс 1 семестр

по дисциплине «МАТЕМАТИКА»

2012 – 2013 Учебный год

1. Решение систем линейных уравнений

Определение. Матрицей называется прямоугольная таблица чисел, состоящая из m строк и n столбцов, которую записывают в следующем виде:

.

Матрица, у которой число строк совпадает с числом столбцов, называется квадратной. Элементы квадратной матрицы A(n × n) a₁₁ , a₂₂ ,… a_nn образуют главную диагональ.

Определение. Любой квадратной матрице А порядка n можно сопоставить число det A (или |A|, или ), называемое ее определителем следующим образом:

► Пример 1.1. Найти определитель матрицы .

Решение

Данной матрице соответствует определитель .◄

При вычислении определителя 3-го порядка удобно пользоваться правилом треугольников (или Саррюса), которое символически можно записать так:

основания равнобедренных треугольников параллельны главной диагонали

основания равнобедренных треугольников параллельны побочной диагонали

► Пример 1.2. Найти определитель А = .

Решение

det А= 9. ◄

Пусть дана система трех линейных уравнений с тремя неизвестными

.

Н

, ,

еизвестные x,y и z данной системы можно найти по формулам Крамера

(2.5)

– определитель, составленный из коэффициентов при x,y и z исходной системы уравнений;

где

– определитель, получаемый из определителя пу тем замены столбца из коэффициентов при х на столбец свободных членов;

– определитель, получаемый из определителя путем замены столбца из коэффициентов при y на столбец свободных членов;

– определитель, получаемый из определителя путем замены столбца из коэффициентов при z на столбец свободных членов

Причем:

1. Если ≠ 0, то система имеет единственное решение.

2. Если = 0, то система либо не имеет решений, либо их бесчисленное множество, т.е.:

   1. если при = 0, и х = у = z = 0, то система имеет бесчисленное множество решений (так как одно уравнение является следствием другого);

   2. если при = 0 хотя бы один из определителей х, у или z отличны от 0, то система не имеет решений.

Задание 1. Решить систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными по правилу Крамера

Решение. Найдем определитель системы

.

Так как , то система совместна и имеет единственное решение. Для нахождения этого решения по правилу Крамера найдем вспомогательные определители

,

,

,

, , .

В конце решения системы рекомендуем сделать проверку, подставив найденные значения в уравнения системы, и убедиться в том, что они обращаются в верные равенства.

2. Метод Гаусса

Рассмотрим способ решения систем линейных уравнений, который носит название метода последовательного исключения неизвестных или метода Гаусса. Существуют различные вычислительные схемы, реализующие этот метод. Однако во всех схемах применяются элементарные преобразования.

Определение. Под элементарными преобразованиями системы линейных уравнений понимаются следующие операции:

• умножение какого-либо уравнения системы на число, отличное от нуля;

• прибавление к одному уравнению другого уравнения, умноженного на произвольное число;

• перемена местами двух уравнений в системе.

При элементарных преобразованиях система переходит в равносильную систему.

Составим матрицу, элементами которой являются коэффициенты при неизвестных и свободные члены системы

.

Матрица В называется расширенной матрицей системы (15). Очевидно, что каждому элементарному преобразованию системы соответствует аналогичное преобразование над строками расширенной матрицы этой системы, и наоборот, каждому элементарному преобразованию над строками расширенной матрицы соответствует некоторое элементарное преобразование в системе.

При помощи элементарных преобразований можно значительно упростить заданную систему, решив которую, тем самым найдем решение исходной системы.

Метод Гаусса, используя элементарные преобразования, приводит систему к такому виду, чтобы ее матрица из коэффициентов оказалась трапециевидной или близкой к трапециевидной.

После того, как матрица системы приняла трапециевидную форму, уже не представляет труда разобраться в вопросе о совместности системы, определить число решений и найти сами решения.

Задание 2. Решить систему методом Гаусса

Решение. При помощи элементарных преобразований над строками упрощаем расширенную матрицу системы

.

Таким образом, исходная система равносильна следующей

Система имеет единственное решение

, , , .