Практическая работа № 4 Практические приёмы приближённых вычислений
Цель: научиться вычислять абсолютные и относительные погрешности приближений, находить границы погрешностей; выполнять действия над приближенными числами с учетом и без учета границ погрешностей.
Место проведения: учебная аудитория, ОБОУ СПО «Курский электромеханический техникум».
Средства обучения:
методические рекомендации к практической работе № 4.
Виды самостоятельной работы:
нахождение погрешности приближения;
вычисление абсолютной и относительной погрешности приближения;
нахождение границ погрешностей приближений;
нахождение суммы, разности приближенных значений с учетом границ погрешностей;
нахождение произведения, частного приближенных значений с учетом границ погрешностей;
выполнение арифметический действий над приближенными значениями без учета границ погрешностей.
Краткая теоретическая справка
Если
результат измерения или вычисления
величины x
с некоторой точностью равен
,
то
называют приближенным
значением
(приближением) величины x.
Разность
между точным и приближенным значениями
величины называется погрешностью
приближения
.
Модуль
разности между точным и приближенным
значениями величины называется абсолютной
погрешностью приближения
.
В случаях, когда неизвестно точное значение величины и из-за этого нельзя найти абсолютную погрешность приближения, указывают положительное число, больше которого абсолютная погрешность быть не может. Это число называют границей абсолютной погрешности.
Если
,
то
есть
граница абсолютной погрешности.
Тогда
,
т.е.
истинное значение величины x
заключается
в пределах
.
Для характеристики качества измерения используют понятие относительной погрешности. Отношение абсолютной погрешности приближения к модулю приближенного значения величины называется относительной погрешностью приближения.
Любое положительное число, которое больше или равно относительной погрешности, называется границей относительной погрешности.
,
где
-
граница относительной погрешности.
Если - граница абсолютной погрешности, то граница относительной погрешности равна
.
Если
с точностью до
,
с точностью до
,
то
с
точностью до
и
с точностью до
.
Если
с относительной точностью до
,
с относительной точностью до
,
то
с
относительной точностью до
и
с относительной точностью до
.
Если
с относительной точностью до
,
то относительная точность приближенного
равенства
есть
.
Граница относительной погрешности корня n-й степени в n раз меньше границы относительной погрешности подкоренного числа.
Если
положительное число записано в виде
,
где
,
то говорят, что число записано в
стандартном виде. Целое число k
называют
порядком данного числа.
Цифра какого-либо разряда в записи приближенного значения называется верной, если граница абсолютной погрешности приближения не превышает единицы этого разряда.
Цифра в записи приближенного значения называется строго верной, если его абсолютная погрешность не превышает половины единицы разряда, в котором записана эта цифра.
Значащими цифрами называются все верные цифры в записи приближенного значения, кроме нулей, стоящих перед первой отличной от нуля цифрой.
При вычислениях, когда не учитывается погрешность каждого промежуточного результата, рекомендуется пользоваться следующими правилами подсчета верных цифр:
1) в сумме и разности приближенных значений, в записи которых все цифры верные, оставляют столько десятичных знаков, сколько их имеет приближенное значение с наименьшим числом десятичных знаков;
2) в произведении и частном приближенных значений оставляют столько цифр, не считая нулей, стоящих впереди, сколько значащих цифр имеет приближенное значение с меньшим числом значащих цифр;
3) в промежуточных результатах рекомендуется сохранить на 1-2 цифры больше, чем указано в правилах 1 и 2. В конечном результате последние цифры надо округлить.
Практические задания для аудиторной работы
1.
Найти погрешность, абсолютную и
относительную погрешность приближенного
значения
величины
.
2. Определить точность приближенного равенства .
3. Определить относительную точность приближенного равенства .
1.,2.
а)
;
;
б)
;
.
3.
а)
;
;
б)
;
.
4.
Найти периметр
,
если
,
,
.
5.
Вычислить чему равна площадь прямоугольника
шириной
м
и длиной
м.
6.
Вычислить периметр четырехугольника
,
если
,
,
,
.
Практические задания для самостоятельной работы
Вариант 1
1.,2.
а)
;
;
б)
;
.
3.
а)
;
;
б)
;
.
4.
Найти разность
,
если
с точностью до 1%,
с
точностью до 2%.
5.
Вычислить
,
если
и
с точностью до 1%.
6.
Найти произведение чисел
и
.
Вариант 2
1.,2.
а)
;
;
б)
;
.
3.
а)
;
;
б)
;
.
4.
Найти периметр прямоугольника
,
если
,
.
5.
Вычислить площадь ромба
,
если его диагонали равны
см,
см.
6.
Вычислить периметр
,
если
,
,
.
Вариант 3
1.,2.
а)
;
;
б)
;
.
3.
а)
;
;
б)
;
.
4.
Найти разность
,
если
с точностью до 0,1%,
с
точностью до 1%.
5.
Вычислить чему равна площадь прямоугольника
шириной
м
и длиной
м.
6.
Найти произведение чисел
и
.
Вариант 4
1.,2.
а)
;
;
б)
;
.
3.
а)
;
;
б)
;
.
4.
Найти периметр прямоугольника
,
если
,
.
5.
Вычислить площадь ромба
,
если его диагонали равны
см,
см.
6.
Вычислить периметр
,
если
,
,
.
Требования к отчёту:
1. После выполнения работы студент обязан продемонстрировать преподавателю выполненные задания.
2. Предоставить отчёт о выполненной работе, содержащей:
- порядковый номер и наименование практической работы;
- цель практической работы;
- ход выполнения работы;
- ответы на контрольные вопросы;
- вывод о выполненном задании.
Контрольные вопросы
1. Что называют погрешностью приближения?
2. Что такое абсолютная погрешность приближения?
3. Какую погрешность называют относительной?
4. Что называют границами абсолютной и относительной погрешностей?
5. Какая существует связь между абсолютной и относительной погрешностями?
6. Чему равна погрешность суммы и разности приближенных значений?
7. Как вычислить погрешность произведения и частного приближенных значений?
8. Что такое верные и строго верные числа в записи приближенных значений?
9. Какие цифры в записи приближенного значения называют значащими?
10. Какими правилами пользуются при вычислениях без учета границ погрешностей?
Сделайте вывод о том, какие математические навыки вы приобрели на этом занятии.