Средства обучения:
методические рекомендации к практической работе № 26.
Виды самостоятельной работы:
решение логарифмических уравнений;
решение логарифмических неравенств;
решение систем логарифмических уравнений;
решение систем логарифмических неравенств.
Краткая теоретическая справка
Логарифмическими уравнениями называют такие уравнения, в которых неизвестное содержится только под знаком логарифма (в частности, в основании).
Теорема 1. Если f(x)>0, g(x)>0, то логарифмическое уравнение , где , равносильно уравнению f(x) = g(x).
На практике данную теорему применяют так: переходят от уравнения к уравнению f(x) = g(x) (потенцируют), решают уравнение f(x) = g(x), а затем проверяют его корни по условиям f(x)>0, g(x)>0, определяющим область допустимых значений переменной.
Выделяют три основных метода решения показательных уравнений:
1. Функционально-графический метод. Основан на использовании графических иллюстраций и свойств функций.
2. Метод потенцирования. Основан на теореме 1.
3. Метод введения новой переменной.
4. Метод логарифмирования.
Логарифмическими
неравенствами
называют неравенства вида
,
где
,
и неравенства, сводящиеся к этому виду.
Теорема 2. Если f(x)>0 и g(x)>0, то:
логарифмическое неравенство равносильно неравенству того же смысла f(x) > g(x) при ;
логарифмическое неравенство равносильно неравенству противоположного смысла f(x) < g(x) при .
Практические задания для аудиторной работы
1. Решить уравнение:
а)
;
б)
; в)
.
2. Решить неравенство:
а)
; б)
; в)
.
3. Решить систему уравнений:
а)
б)
4. Решить систему неравенств:
Практические задания для самостоятельной работы
Вариант 1
1. Решить уравнение:
а)
; б)
; в)
.
2. Решить неравенство:
а)
; б)
.
3.
Решить систему уравнений:
4.
Решить систему неравенств:
Вариант 2
1. Решить уравнение:
а)
;
б)
; в)
.
2. Решить неравенство:
а)
; б)
.
3.
Решить систему уравнений:
4.
Решить систему неравенств:
Вариант 3
1. Решить уравнение:
а)
; б)
; в)
.
2. Решить неравенство:
а)
; б)
.
3.
Решить систему уравнений:
4.
Решить систему неравенств:
Вариант 4
1. Решить уравнение:
а)
; б)
; в)
.
2. Решить неравенство:
а)
; б)
.
3.
Решить систему уравнений:
4.
Решить систему неравенств:
Требования к отчёту:
1. После выполнения работы студент обязан продемонстрировать преподавателю выполненные задания.
2. Предоставить отчёт о выполненной работе, содержащий:
- порядковый номер и наименование практической работы;
- цель практической работы;
- ход выполнения работы;
- ответы на контрольные вопросы;
- вывод о выполненном задании.
Контрольные вопросы
1. Какие уравнения, неравенства называются логарифмическими?
2. Какие вы знаете методы решения логарифмических уравнений и неравенств?
3. В каких случаях необходимо выполнять проверку при решении логарифмических уравнений?
Сделайте вывод о том, какие математические навыки вы приобрели на этом занятии.