Практическая работа № 29 Решение уравнений, неравенств и их систем с двумя переменными. Геометрическая интерпретация множества решений

Цель: научиться решать уравнения, неравенства, их системы с двумя переменными, геометрически изображать их решение.

Место проведения: учебная аудитория, ОБОУ СПО «Курский электромеханический техникум».

Средства обучения:

• линейка и карандаш;

• методические рекомендации к практической работе № 29.

Виды самостоятельной работы:

• решение целых рациональных неравенств;

• решение дробно-рациональных неравенств;

• решение иррациональных, логарифмических неравенств методом интервалов.

_{Краткая теоретическая справка}

Уравнение вида f(x;y)=0 называется уравнением с двумя переменными.

Решением уравнения с двумя переменными называется упорядоченная пара чисел (α, β), при подстановке которой (α – вместо х, β – вместо у) в уравнении имеет смысл выражение f(α; β)=0 .

Решить уравнение – значит найти множество всех его решений.

Уравнение с двумя переменными может:

а) иметь одно решение. Например, уравнение х²+у²=0 имеет одно решение (0;0);

б) иметь несколько решений. Например, (5 -|x|) 2 + (|y| - 2)2 = 0 имеет 4 решения: (5; 2), (-5; 2), (5; -2), (-5; -2);

в) не иметь решений. Например уравнение х²+у²+1=0 не имеет решений;

г) иметь бесконечно много решений. Например, такое уравнение, как х-у+1=0 имеет бесконечно много решений.

Иногда бывает полезной геометрическая интерпретация уравнения f(x;y)=g(x;y). На координатной плоскости хОу множество всех решений – некоторое множество точек. В ряде случаев это множество точек есть некоторая линия, и в этом случае говорят, что уравнение f(x;y)=g(x;y) есть уравнение этой линии, например:

• уравнение Ах+Ву+С=0 (А²+В² 0) есть уравнение прямой (рис.1);

• уравнение х²+у²=R² (R 0) есть уравнение окружности ( рис.2);

• уравнение ху=а (а 0) есть уравнение гиперболы (рис.3,4);

• уравнение у=ах²+bх+с (а 0) есть уравнение параболы (рис.5);

• уравнение х²+у²=0 задает одну точку (0;0) (рис.6).

рис.1 рис.2 рис.3 рис.4

рис.5 рис. 6

Основными методами решения уравнений с двумя переменными являются методы, основанные на разложении выражений на множители, выделение полного квадрата, использование свойств квадратного уравнения, ограниченности выражений, оценочные методы. Уравнение, как правило, преобразовывают к виду, из которого можно получить систему для нахождения неизвестных.

Неравенство с двумя неизвестными можно представить так: f(x;y)> , где f(x;y), – многочлен двух переменных х и у. Его можно записать в виде .

Неравенства, содержащие неизвестные, могут быть вида F(x,y)<0, F(x,y)>0, F(x,y) 0, F(x,y) 0.

Решением неравенства с двумя переменными называется пара значений переменных, обращающих неравенство в верное числовое неравенство.

Чтобы решить графически систему двух неравенств с двумя неизвестными, надо:

1) в каждом из них перенести все члены в одну часть, т.e. привести неравенства к виду:

2) построить графики функций, заданных неявно:  f(x,y)=0 и g(x,y)=0;

3) каждый их этих графиков делит координатную плоскость на две части: в одной из них неравенство справедливо, в другой – нет; чтобы решить графически каждое из этих неравенств, достаточно проверить справедливость неравенства в одной произвольной точке внутри любой части плоскости; если неравенство имеет место в этой точке, значит  эта часть координатной плоскости является его решением, если нет – то решением является противоположная часть плоскости;

4) решением заданной системы неравенств является пересечение (общая область) частей координатной плоскости.

 

Практические задания

1. Решите уравнение с двумя неизвестными.

а) ; б) ; в) .

2. Решите неравенство:

а) ; б) .

3. Изобразите множество решений системы неравенств на координатной плоскости

а) б)

Требования к отчёту:

1. После выполнения работы студент обязан продемонстрировать преподавателю выполненные задания.

2. Предоставить отчёт о выполненной работе, содержащий:

- порядковый номер и наименование практической работы;

- цель практической работы;

- ход выполнения работы;

- ответы на контрольные вопросы;

- вывод о выполненном задании.

Контрольные вопросы

1. Какие методы решения уравнений с двумя неизвестными вы знаете?

2. В чем заключается графический метод решения неравенств с двумя неизвестными?

3. Как решить графически систему неравенств с двумя неизвестными?

Сделайте вывод о том, какие математические навыки вы приобрели на этом занятии.