Практическая работа № 27 Основные приёмы решения тригонометрических уравнений и неравенств, систем уравнений

Цель: научиться решать тригонометрические уравнения и неравенства, системы уравнений.

Место проведения: учебная аудитория, ОБОУ СПО «Курский электромеханический техникум».

Средства обучения:

• методические рекомендации к практической работе № 27.

Виды самостоятельной работы:

• решение тригонометрических уравнений;

• решение тригонометрических неравенств;

• решение систем тригонометрических уравнений.

Краткая теоретическая справка

Тригонометрическими уравнениями называют уравнения, в которых переменная содержится под знаками тригонометрических функций. К ним прежде всего относятся простейшие тригонометрические уравнения вида , , , .

Если , то решение уравнения имеет вид:

.

Частные случаи:

, ;

,

, .

Если , то решение уравнения имеет вид:

.

Частные случаи:

, ;

,

, .

Решение уравнения , , имеет вид: .

Решение уравнения , , имеет вид: .

Для решения тригонометрических уравнений и неравенств чаще всего используются два метода: введения новой переменной и разложения на множители.

_{Практические задания для аудиторной работы}

1. Решить уравнение:

а) ; б) ; в) ;

г) .

2. Решить неравенство:

а) ; б) ; в) ; г) .

3. Решить систему уравнений:

_{Практические задания для самостоятельной работы}

Вариант 1

1. Решить уравнение: .

2. Решить неравенство: .

3. Решить систему уравнений:

Вариант 2

1. Решить уравнение: .

2. Решить неравенство: .

3. Решить систему уравнений:

Вариант 3

1. Решить уравнение: .

2. Решить неравенство: .

3. Решить систему уравнений:

Вариант 4

1. Решить уравнение: .

2. Решить неравенство: .

3. Решить систему уравнений:

Требования к отчёту:

1. После выполнения работы студент обязан продемонстрировать преподавателю выполненные задания.

2. Предоставить отчёт о выполненной работе, содержащий:

- порядковый номер и наименование практической работы;

- цель практической работы;

- ход выполнения работы;

- ответы на контрольные вопросы;

- вывод о выполненном задании.

Контрольные вопросы

1. Какие уравнения, неравенства называются тригонометрическими?

2. Какие вы знаете методы решения тригонометрических уравнений и неравенств?

Сделайте вывод о том, какие математические навыки вы приобрели на этом занятии.

Практическая работа № 28 Решение неравенств методом интервалов

Цель: научиться решать неравенства методом интервалов.

Место проведения: учебная аудитория, ОБОУ СПО «Курский электромеханический техникум».

Средства обучения:

• методические рекомендации к практической работе № 28.

Виды самостоятельной работы:

• решение целых рациональных неравенств;

• решение дробно-рациональных неравенств;

• решение иррациональных, логарифмических неравенств методом интервалов.

_{Краткая теоретическая справка}

_{Метод интервалов широко используется при решении квадратных неравенств, рациональных, дробно-рациональных, а также иррациональных, логарифмических.}

_{Рациональным неравенством называется неравенство вида P(x) > 0 или P(x) < 0, а так же Q(x)P(x) 0 или Q(x)P(x)<0, где P(x) и Q(x) многочлены, которые можно представить в виде произведения линейных множителей.}

_{Алгоритм применения метода интервалов:}

1. _{Разложить многочлены P(x) и Q(x) на линейные множители. Количество множителей может быть любым, но обязательно в разностях каждого множителя x всегда является уменьшаемым и коэффициенты при переменной x должны быть положительными (канонический вид). Если количество множителей, которые надо привести к каноническому виду, нечетное, то знак сравнения решаемого неравенства меняется на противоположный. Но если количество множителей, которые надо привести к каноническому виду, четное, то знак сравнения решаемого неравенства остается тем же.}

2. _{Найти корень каждого множителя и нанести все корни на числовую ось. Найти все корни - значит решить уравнения P(x) = 0 и Q(x) = 0. Отметить на числовой оси корни уравнений в порядке возрастания. Эти числа разбивают числовую ось на интервалы. На каждом из этих интервалов рациональное выражение сохраняет, а, переходя через отмеченные точки, меняет знак на противоположный.}

3. _{Определить знак неравенства справа от большего корня. Расставить знаки на интервалах, начиная от крайнего правого.}

4. _{Проставить знаки в остальных интервалах, учитывая четное или нечетное число раз встречается каждый корень.}

5. _{Выписать ответы неравенства в виде интервалов.}

Неравенства вида ; ; ; , где и - многочлены степеней n и m соответственно и , называются дробно-рациональными.

Дробно-рациональные неравенства решаются переходом к равносильным целым рациональным неравенства:

; ;

_{Алгоритм решения иррациональных неравенств методом интервалов}

1. _{Рассмотрим иррациональную функцию; найдем область определения функции.}

2. _{Вычислим нули функции.}

3. _{На координатной прямой:}

_{- отметим нули функции, принадлежащие области определения;}

_{- определим знак функции на каждом промежутке.}

4. _{С учетом знака неравенства выпишем ответ.}

_{Практические задания для аудиторной работы}

1. Решить рациональное неравенство:

а) ; б) .

2. Решить дробно-рациональное неравенство:

а) ; б) ; в) .

3. Решить иррациональное неравенство:

а) ; б) .

4. Решить логарифмическое неравенство: .

_{Практические задания для самостоятельной работы}

Решить неравенства:

Вариант 1

а) ; б) ; в) .

Вариант 2

а) ; б) ; в) .

Вариант 3

а) ; б) ; в) .

Вариант 4

а) ; б) ; в) .

Требования к отчёту:

1. После выполнения работы студент обязан продемонстрировать преподавателю выполненные задания.

2. Предоставить отчёт о выполненной работе, содержащий:

- порядковый номер и наименование практической работы;

- цель практической работы;

- ход выполнения работы;

- ответы на контрольные вопросы;

- вывод о выполненном задании.

Контрольные вопросы

1. Метод интервалов для решения рациональных неравенств.

2. Решение иррациональных неравенств методом интервалов.

Сделайте вывод о том, какие математические навыки вы приобрели на этом занятии.