3. Из всех этих значений выбираем наибольшее и наименьшее.

Замечание. Если непрерывная на отрезке функция имеет во внутренней точке этого отрезка только один экстремум, то в этой точке она имеет наибольшее значение в случае максимума и наименьшее – в случае минимума.

Пример. Найти наибольшее и наименьшее значения функции

на отрезке

, ,

; ; ;

Y наиб. , Y наим.

Применение теории максимума и минимума к решению задач

Пример 1. Из квадратного листа жести со стороной необходимо сделать открытый сверху ящик наибольшего объёма, вырезая равные квадратные уголки и загибая жесть.

Найти сторону вырезаемых квадратных уголков.

Пусть сторона вырезаемого квадрата Тогда  сторона ящика. . Найдём наибольшее значение в интервале .

, , , в точке  наибольшее значение.

Пример 2. Найти высоту цилиндра наибольшего объёма, который может быть вписан в данный конус с высотой и радиусом основания .

Пусть высота цилиндра - , радиус основания - .

, подобен .

; . ,

, , ,

, следовательно, при объем цилиндра наибольший.

Выпуклость и вогнутость графика функции. Точки перегиба

График дифференцируемой функции называется выпуклым (вогнутым) в интервале , если он расположен ниже (выше) любой своей касательной на этом интервале.

Теорема. Пусть функция имеет вторую производную во всех точках интервала . Если во всех точках этого интервала , то график функции в этом интервале выпуклый, если же - вогнутый.

Определение. Точка графика непрерывной функции, отделяющая его выпуклую часть от вогнутой, называется точкой перегиба.

Теорема. (достаточный признак существования точки перегиба).

Если вторая производная непрерывной функции меняет знак при переходе через точку , то точка является точкой перегиба графика функции.

Теорема. (необходимое условие существования точки перегиба).

Пусть функция имеет в интервале непрерывную вторую производную . Тогда, если точка является точкой перегиба графика данной функции, то .

Замечание. Абсциссы точек перегиба графика непрерывной функции следует искать среди тех точек, в которых вторая производная или равна нулю или разрывна (в частности, не существует).

Пример. , , .

Асимптоты графика функции

Определение. Асимптотой графика функции называется прямая линия, обладающая тем свойством, что расстояние от переменной точки на графике до прямой стремится к нулю при неограниченном удалении этой точки по графику от начала координат.

Для того, чтобы прямая была вертикальной асимптотой, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось хотя бы одно из условий:

,

Пример. , и являются вертикальными асимптотами.

Теорема. Для того, чтобы прямая была наклонной асимптотой, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось хотя бы одно из условий:

а) ; б)

При этом , или , .

Пример.

1. ;

2. ;

Асимптоты: , .

План исследования функции.

1. Область определения функции.

2. Четность (нечетность) функции.

3. Периодичность.

4. Точки пересечения с осями координат.

5. Монотонность. Экстремальные точки.

6. Выпуклость(вогнутость) функции. Точки перегиба.

7. Асимптота.

8. График функции.

Пример.

1. Область определения : .

2. Функция общего вида.

3. Функция не периодическая.

4. Имеет точку пересечения с осью Ох :

5. , - критическая точка.

	-		+

min

6. 

	-		+

точка

перегиба

7. Вертикальных асимптот нет.

- горизонтальная асимптота.

8. График функции

Пример 2. .

1. Область определения : .

2. Функция общего вида.

3. Функция непериодическая.

4. - точка пересечения с осями координат.

5. , и - критические точки.

   х					+
   	+		-	-	0	+

6. , , следовательно, у графика функции точек перегиба нет.

	-	+

7. , следовательно, - вертикальная асимптота.

т.е. - наклонная асимптота.

8. Г рафик функции

У

16

Х

-4 4 8