Лекция 1 Числовая последовательность. Предел последовательности

Определение. Если каждому натуральному числу n поставлено в соответствие число х_n, то говорят, что задана последовательность x_1, х₂, …, х_n = {x_n}

? Приведите примеры

Общий элемент последовательности является функцией от n.

x_n = f(n)

Таким образом, последовательность может рассматриваться как функция порядкового номера элемента.

Задать последовательность можно различными способами – главное, чтобы был указан способ получения любого члена последовательности.

Пример. {x_n} = {(-1)ⁿ} или {x_n} = -1; 1; -1; 1; …

{x_n} = {sinn/2} или {x_n} = 1; 0; 1; 0; …

Для последовательностей можно определить следующие операции:

• Умножение последовательности на число m: m{x_n} = {mx_n}, т.е. mx₁, mx₂, …

• Сложение (вычитание) последовательностей: {x_n}  {y_n} = {x_n  y_n}.

• Произведение последовательностей: {x_n}{y_n} = {x_ny_n}.

• Частное последовательностей: при {y_n}  0.

Ограниченные и неограниченные последовательности.

Определение. Последовательность {x_n} называется ограниченной, если существует такое число М>0, что для любого n верно неравенство: , т.е. все члены последовательности принадлежат промежутку [-М; M].

Определение. Последовательность {x_n}называется ограниченной сверху, если для любого n существует такое число М, что x_n  M.

Определение. Последовательность {x_n}называется ограниченной снизу, если для любого n существует такое число М, что x_n  M.

Пример. {x_n} = n – ограничена снизу {1, 2, 3, … }. Но неограниченна сверху

Определение. Числовая последовательность сходится к числу а, если для любого положительного >0 существует такой номер , что для всех n > выполняется условие:

Число а называется пределом последовательности {x_n}. Это записывается: lim x_n = a.

Пример. Показать, что при n последовательность 3, сходится к числу 2.

Поскольку x_n= 2 + 1/n, то 1/n = x_n – 2. А потому очевидно, что существует такое число n, что , т.е. lim {x_n} = 2.

Стремление последовательности к числу а можно себе представлять, как приближение изображающей точки а_n к точке а с увеличением «дискретного времени» n. См. рис. 2.1

«x_п нельзя разрешать выпрыгивать из какого-нибудь е-коридора (а-, а + ) сколько угодно раз». Другими словами, какой -коридор ни взять - x_n обязана с некоторого момента в нем оставаться.

Свойство: Если отбросить какое- либо конечное число членов последовательности, то получается новая последовательность, при этом если сходится одна из них, то сходится и другая.

Теорема. Последовательность не может иметь более одного предела.

Теорема. Если x_n  a, то

Теорема. Если x_n  a, то последовательность {x_n} ограничена.

Следует отметить, что обратное утверждение неверно, т.е. из ограниченности последовательности не следует ее сходимость.

Например, последовательность не имеет предела, хотя

Определение. Числовая последовательность, имеющая нулевой предел x_n →0, называется бесконечно малой величиной.

Определение. Последовательность при n →∞ расходится, если она не является сходящейся, т.е. не имеет предела. Это может быть, если этого предела вообще нет или x_n →∞ .

Расходящиеся последовательности, уходящие на бесконечность, называют бесконечно большими величинами.

В процессе решения часто используется следующий прием, известный как теорема о трех последовательностях, теорема о трех собачках, лемма о двух милиционерах.

Теорема о трех последовательностях

Если при любом n, и «крайние» последовательности сходятся к одному и тому же пределу, то к этому же пределу сходится и .