7.2 Понятие о планировании эксперимента

В связи с усложнением объектов и ростом масштабов возможных последствий экспериментов представляется необходимым проектировать сам эксперимент.

Анализ известных методов планирования эксперимента обнаруживает несколько вариантов их применения:

- с одной стороны, они могут выступать как самостоятельные методы прогнозирования и планирования, в частности, как методы прогнозирования по аналогии;

- с другой стороны, эти методы могут быть использованы как вспомогательные элементы при разработке управленческих решений с использованием формальных моделей объекта про­гнозирования или планирования;

- с третьей стороны, они применимы при создании и ис­пытаниях автоматизированных систем управления и планиро­вания.

При исследовании систем управления нужно:

1) проводить эксперименты и испытания;

2) исследовать правильность выбора и разработки мето­дов планирования и управления испытаниями.

Проект экспериментальных исследований (испытаний) товаров должен содержать:

1. проект объекта (или номенклатуры объектов) испытаний;

2. проект множества типовых условий испытаний;

3. план испытаний;

4. проект технологии испытаний (включая проект измерений параметров);

5. проект обеспечения безопасности испытаний;

6. перечень ожидаемых результатов.

Ограниченные, а тем более, масштабные эксперименты должны тщательно планироваться. Для обеспечения определенных свойств плана испытаний, а также минимизации затрат на испытания используют методы теории планирования эксперимента.

Планом экспериментов (испытаний) условимся называть минимальное множество условий проведения эксперимента, в которых обеспечивается достижение целей и задач испытаний: разработку модели операции или системы, проверку правильности функционирования, оценку безопасности, необходимые точность и достоверность прогноза параметров.

Важно, что, обеспечивая качество результата прогноза при их использовании в процессе прогнозного моделирования, методы теории планирования эксперимента одновременно: позволяют получить прогноз затрат на получение этого результата. Если при этом в качестве объекта прогноза выступа­ют некоторые технические характеристики высокотехнологичных изделий машиностроения, то методы планирования эксперимента выступают в роли методов прогнозирования и позволяют получать оценку затрат, на достижение соответствующих характеристик.

В результате экспериментов необходимо выявить причинно-следственную связь между выходными параметрами и факторами.

7.3 Математическое планирование экспериментов

Математическое планирование эксперимента — это процедура выбора числа и условий проведения опытов, необходимых и достаточных для решения данной задачи с требуемой точностью, методов математической обработки их результатов и принятия решений. Таким образом, математическое планирование эксперимента относится к экспериментально-статистическим методам.

В планировании эксперимента сам эксперимент рассматривается как объект исследования и оптимизации. Здесь осуществляется оптимальное управление ведением исследования в зависимости от информации об изучаемой системе, осуществляется изменение стратегии исследования с выбором оптимальной стратегии для каждого этапа.

Достоинством этого математического аппарата является его универсальность, пригодность в большинстве областей исследования (промышленности, медицине, биологии, сельском хозяйстве и др.).

Основная задача математического планирования эксперимента — переработка исходной информации для целей управления процессами и системами. При исследовании систем управления необходимо:

- представить систему в виде отдельных элементов или подсистем, которые соответствуют определенным признакам, объединенных функциональными связями;

- сформулировать задачу управления системой;

- выявить входные воздействия (факторы), выходные переменные, возмущающие и управляющие воздействия и управляемые переменные;

- получить математическую модель, описывающую динамику изучаемой системы;

- провести анализ характеристических свойств системы как объекта управления (управляемость, устойчивость, наблюдаемость и т.п.).

Активный эксперимент позволяет, управляя уровнями варьирования рассматриваемых факторов, добиваться оптимальных значений выходной функции. Характерной особенностью данного подхода является возможность, не обладая 100 % информацией об объекте исследования при конечном числе опытов (наблюдений) получить математическую модель, которая с заданной точностью способна адекватно описывать поведение системы в целом.

При наличии множества факторов, оказывающих влияние на систему, достаточно сложно получить реальное ее представление в виде регрессионной модели. В этом случае необходимо выполнить несколько основных этапов, последовательность которых в конечном итоге позволит получить кон­кретную математическую модель и дать необходимые рекомендации для эффективного управления системой.

I этап - выявление факторов, влияющих на работу систе­мы ;

II этап - группировка факторов по принципу управляемости:

а) неуправляемые;

б) управляемые.

III этап - ранжирование (упорядочение) управляемых факторов по степени их влияния на изу­чаемую систему (функцию);

IVэтап - выбор из ранжирного ряда наиболее сильно влияющих факторов;

V этап - определение степени влияния факторов (линейная или нелинейная модель);

VI этап - проведение основного эксперимента (опыта, с целью получения чис­ленных оценок коэффициента уравнения регрессии);

VII этап - определение адекватности модели;

VIII этап - определение максимального и минимального значения функции оптимизации;

IX этап - построение графиков и анализ;

X этап - окончательный анализ полученных результатов, выводы и рекоменда­ции для улучшения функционирования системы.

Все этапы являются основой одного из методов планирования экспе­римента.

В ходе планирования эксперимента выполняется процедура выбора числа и уровней про­ведения опытов необходимых и достаточных для решения поставленной задачи (исследования системы) с требуемой точностью.

Общая структура факторного пространства приведена на рисунке 7.1.

Рисунок 7.1 - Общая структура факторного пространства

Факторное пространство это многомерное пространство, отражающее состояние изучаемой системы и влияние на нее совокупности факторов.

Примеры:

факторное пространство для двух факторов

факторное пространство для трех факторов

Фактор (параметр) - величина, изменяя которую можно управлять процессом (выходным параметром, функцией, целевой функцией отклика).

Основные требования к факторам:

1. Факторы должны быть управляемыми, т.е. исследователь имеет воз­можность изменить уровень значений фактора.

2. Факторы не должны коррелировать друг с другом, т.е. при изменении уровня варьирования одного фактора исследователь должен иметь воз­можность изменения уровня оставшихся факторов.

Линейная модель - уравнение регрессии, содержащее взаимодействия первой степени.

у = b₀+ b₁x₂ + b₂x₂ + b₁₂х₁х₂,

где у - отклик (числовое значение изучаемого явления);

b₀ - свободный член уравнения, отражающий среднее состояние отклика;

b₁ ,b₂ - коэффициенты при линейных взаимодействиях указывающие на­ правление изменения отклика (tg угла наклона линии);

b₁₂ - коэффициент при парном (смешанном ) взаимодействии, отражаю­щем степень влияния изучаемых факторов x₁, x₂ на изучаемый процесс, то есть совместное влияние факторов на изменение отклика.

Уровень варьирования фактора - численное значение величины, лежащей в заданном диапазоне.

Уровни кодируются следующим образом:

1. Максимальный (+1).

2. Минимальный (-1).

3. Средний (0).

Таблица 7.1 – Уровни варьирования скорости

Q, м/с	Натуральные значения	Кодированные значения
max	10	1
min	2	1
Сред .	6	0

Интервал варьирования - численное значение, является разницей между двумя соседними уровнями варьирования факторов (рисунок 7.2).

Рисунок 7.2 - Интервалы варьирования в натуральном