Частные производные функций двух переменных.

Рассмотрим функцию двух переменных z = f(x, y).

Частной производной функции двух переменных z = f(x, y) по х в точке (х, у) называется предел , если он существует. Частная производная есть обычная производная от функции f(x,y), рассматриваемой как функция только от переменной х при фиксированном у.

Аналогично определяется частная производная по у в точке (х,у):

.

Если у функции существует частная производная снова по переменной х, то ее называют частной производной второго порядка от функции f(x,y) по переменной х и обозначают . Таким образом, .

Аналогично для переменной у: .

Если существует частная производная от функции по переменной у, то эту производную называют смешанной частной производной второго порядка от функции z = f(x, y) и обозначают .

В курсе высшей математики доказывается теорема о том, что если функция двух переменных определена вместе со своими частными производными в окрестности некоторой точки, причем смешанные частные производные непрерывны в этой точке, то в этом случае результат дифференцирования не зависит от порядка дифференцирования, т. е. .

ПРОИЗВОДНАЯ ПО НАПРАВЛЕНИЮ

Рассмотрим функцию двух переменных z = f(x, y). Если эта функция дифференцируема в точке (х,у), то для нее существует производная по направлению любого единичного вектора n⁰ = (Cos, Cos), выражаемая формулой ,

где  и  - углы, которые вектор n⁰ составляет с осями х и у.

Если же необходимо найти производную по направлению произвольного вектора n = ai + вj , то его необходимо сначала пронормировать и найти направляющие косинусы по формулам а потом воспользоваться приведенной выше формулой.

Градиент функции

Градиентом функции z = f(x, y) в точке М(х₀, у₀) называется вектор grad z, координаты которого равны частным производным функции z = f(x, y), вычисленным в точке М(х₀, у₀)

.

Задача № 9

Найти частные производные функции z = f(x,y):

Задача № 10

Найти градиент и производную по направлению

ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ

НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

При изучении дифференцированного исчисления решалась следующая задача: дана функция F(x), найти ее производную F(x) (в дальнейшем производную F(x) будем обозначать f(x)). Интегральное исчисление решает задачу обратную: для непрерывной функции f(x) найти такую функцию F(x), производная которой была бы тождественно равна функции f(x). Функция F(x) называется первообразной, f(x) - подынтегральной. Ясно, что если F(x) = f(x), то и [F(x) + C] = f(x). Здесь С - произвольная постоянная величина.

Определение:

Неопределенным интегралом называется функция F(x) + C, производная которой равна подынтегральной функции f(x), т.е.

= F(x) + C, если [F(x) + C] = f(x).

Подынтегральное выражение f(x)dx есть дифференциал для всех первообразных, т.е. d[F(x) + C] = f(x)dx.

Из определения следует, что процесс нахождения неопределенного интеграла сводится к нахождению первообразной данной функции.

Вообще, используя таблицу производных, можно составить таблицу основных интегралов:

	9.
	10.
2.	11.
3.	12.
3.	13.
4.	14.
5.	15.
6.	16.
7.	17.
8.	18.

ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА НЕОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА

1. , т.е. знаки d и , стоящие перед некоторой функцией, друг друга уничтожают. Так .

2. , т.е. постоянный множитель можно выносить за знаки интеграла.

3. , т.е. неопределенный интеграл от суммы некоторых функций равен сумме интегралов от этих функций.