11. Смежные и вертикальные углы.

В геометрии есть куча разных видов углов, имеющих собственные названия. Часть этих названий говорит что-то об угле. Например, если угол прямой — значит, он занимает ровно четверть плоскости. Но многие названия углов относятся не к одному углу, а к паре углов, которые как-то по-особому расположены по отношению друг к другу. И если первый тип названий запоминаются легко — то со вторым очень часто возникают проблемы. Поэтому я буду стараться не только рассказывать про сами виды углов, но и пояснять, почему они так называются, чтобы вам было проще запомнить.

Смежные углы — это такие 2 угла, у которых две стороны совпадают, а две других дополняют друг друга до прямой.

Смежные означает «имеющие общую границу», от слова «межа». Например, смежные комнаты — это комнаты, которые разделяет только одна стена. Представить себе такие углы очень просто — возьмите развернутый угол и проведите из его вершины любой луч, не совпадающий со сторонами угла. Этот луч разделит развернутый угол на два смежных угла. И именно поэтому имеет место

Теорема о смежных углах: сумма смежных углов равна 180 градусам (или *пи*, если измерять в радианах).

Прежде чем начать доказывать эту теорему, хочу завести милую традицию. В начале каждого доказательства я буду писать список «ингредиентов» - фактов, которые понадобятся мне для доказательства. Если, глядя на название, вам не удается вспомнить полную формулировку одного из них — самое время вернуться немного назад и перечитать соответствующий отрывок.

Хочу отдельно отметить, что, поскольку у многих теорем есть разные способы доказательства, то и список ингредиентов может различаться — например, господин Погорелов не может сварить теорему Пифагора без синусов и косинусов, а я предпочитаю стряпать ее из площадей прямоугольных треугольников. Поэтому не удивляйтесь, если это не первый ваш учебник геометрии и некоторые рецепты покажутся незнакомыми. Это все равно вкусно.

Итак,

Доказательство:

Нам понадобятся:

Аксиома о величине угла.

Поскольку смежные углы имеют общую сторону, то угол между двумя другими их сторонами равен сумме смежных углов (по аксиоме о величине угла). Поскольку две несовпадающие стороны дополняют друг друга до прямой, то они образуют развернутый угол, по определению равный 180 градусам (или *пи*). Но так как он равен сумме величин смежных углов, то сумма этих углов тоже равна 180 градусам (или *пи*), что и требовалось доказать.

Вертикальные углы — это такие 2 угла, что стороны одного угла дополняют до прямых стороны другого угла.

Наиболее непонятное название из всех пар углов, которые мы будем проходить, хотя бы потому, что, в зависимости от того, как мы повернем чертеж, вертикальные углы превращаются в «горизонтальные» и наоборот. Поэтому это название придется просто запомнить. Самый простой способ нарисовать вертикальные углы — построить две пересекающиеся прямые, при пересечении образуются две пары вертикальных углов.

Задание: а сколько пар смежных углов образуется при пересечении двух прямых?

Теорема о вертикальных углах: вертикальные углы равны.

Доказательство:

Нам понадобятся:

Аксиома о величине угла.

Теорема о смежных углах.

Возьмем пару вертикальных углов, пусть они называются *альфа* и *бета*. Пусть угол, смежный с углом *альфа*, называется *гамма*. Одна из сторон угла *гамма* является стороной угла *альфа*, а вторая дополняет сторону угла *альфа* до прямой, следовательно, она является стороной угла *бета* (по определению вертикальных углов). Следовательно, угол *гамма* имеет общую сторону с углом *бета*, а другая его сторона дополняет одну из сторон угла *бета* до прямой (поскольку она является стороной угла *альфа*, а углы *альфа* и *бета* - вертикальные). Следовательно, угол *гамма* является смежным с углом *бета*. Следовательно, *альфа*+*гамма*=*бета*+*гамма*=180 градусов (по теореме о смежных углах). Следовательно, угол *альфа* равен углу *бета*, что и требовалось доказать.

/На всякий случай еще раз напоминаю, что да, конечно здесь будут картинки. Но просто нарисовать 100 картинок за раз гораздо быстрее, чем рисовать каждую картинку по отдельности./