3) Равносильность.

Если вы как следует поняли, что такое следствие, то вам будет очень легко понять, что такое равносильность. Пусть даны утверждения A и B. Утверждение «A равносильно B» (A<=>B) означает, что выполняются оба следствия:

а) A=>B

б) B=>A

Например, утверждения «в коробке яблоко» и «в коробке фрукт» не являются равносильными, поскольку одно из следствий с этими утверждениями неверно. А утверждения «прямые a и b параллельны» и «прямые a и b не пересекаются» равносильны, поскольку из первого всегда следует второе и наоборот.

Часто вместо слова «равносильно» используют конструкцию «тогда и только тогда, когда». Эти слова означают абсолютно одно и то же. Я не знаю, кто, почему и зачем придумал обозначать одну и ту же логическую связь двумя разными способами, но подозреваю, что второй способ просто звучит более естественно с точки зрения русского языка.

А теперь расскажу самое главное и очень важное свойство равносильности:

(A<=>B) <=> (¬A<=>¬B)***

Попробуйте понять, что здесь написано. Серьезно, подумайте минут пять, перед тем как читать дальше.

Для тех, кто пока не привык к такой форме записи, поясню: Если А равносильно В, то противоположные им утверждения тоже равносильны, и наоборот. Проиллюстрировать это мне поможет одна из аксиом, которые мы уже прошли. Процитирую ее полностью: «Отрезок пересекает прямую тогда и только тогда, когда его концы лежат в разных полуплоскостях относительно этой прямой.»

Разберемся, что же здесь говорится. В этой аксиоме имеются два утверждения: A - «Отрезок пересекает прямую» и B - «концы отрезка лежат в разных полуплоскостях относительно прямой», между которыми утверждается равносильность. Но мы-то теперь знаем, что равносильны также и противоположные им высказывания. То есть утверждение ¬A - «отрезок не пересекает прямую» равносильно ¬B - «концы отрезка лежат в одной полуплоскости относительно прямой». То есть из этой аксиомы мы уже получили две равносильности. А поскольку каждая равносильность заключает в себе два следствие, то получаем 4 следствия, которые утверждаются данной аксиомой:

а) A=>B Если отрезок пересекает прямую, то его концы лежат в разных полуплоскостях относительно данной прямой.

б) B=>A Если концы отрезка лежат в разных полуплоскостях относительно прямой, то отрезок пересекает эту прямую.

в) ¬A=>¬B Если отрезок не пересекает прямую, то его концы лежат в одной и той же полуплоскости относительно данной прямой.

г) ¬B=>¬A Если концы отрезка лежат в одной и той же полуплоскости относительно данной прямой, то отрезок не пересекает эту прямую.

Меня самого до сих пор удивляет, как можно одной фразой сказать столько вещей сразу. В геометрии такое на каждом шагу, так что читайте внимательно и постоянно спрашивайте себя: «Точно ли я понимаю все, что сказано в этой фразе?»

Теперь, когда вы все знаете об утверждениях и логических связях, рассмотрим основные типы доказательств, которые используются в математике вообще и в геометрии в частности:

1) Прямое доказательство.

Самый простой тип доказательства, построенный на следствиях. Например, нам известно, что утверждение A истинно, а надо доказать, что истинно утверждение B. В простейшем случае нам надо найти такое утверждение С, чтобы мы точно знали, что выполняются следствия A=>C и C=>B. В более сложных случаях эта цепочка может включать в себя гораздо больше утверждений, но главное, что они все следуют друг из друга, и в начале стоит A, а в конце — B.