8. Третий признак равенства треугольников.

Напомню, он формулируется так:

Если у треугольников соответственно равны все три стороны, то такие треугольники равны.

Для того, чтобы проверить, соответствует ли данный признак аксиоме о построении треугольника, возьмем три отрезка и попробуем построить из них треугольник. Как и в прошлый раз, выберем луч и договоримся, какая сторона лежит на луче и как расположены остальные 2 (надо определиться, концом какой из двух оставшихся сторон является начало луча). Для того, чтобы избежать трудностей с названием сторон, пусть сторона, лежащая на луче называется a, сторона, не лежащая на луче, но концом которой является начало луча, называется b, а третья — c. Первый шаг построения очевиден: отложим от начала луча отрезок, равный длине a. По аксиоме о построении отрезка сделать это можно единственным образом. Но как построить остальные стороны, ведь мы не знаем ни одного угла между ними? И здесь нам на помощь приходит инструмент, называемый циркулем*. Это один из главных инструментов древних землемеров, которые когда-то придумали геометрию. Современный циркуль вы наверняка видели, а как он выглядел 2 тысячи лет назад, я не знаю, но вполне можно представить его себе в виде двух колышков, связанных веревкой. Один колышек втыкается в землю, а другим ведут по земле так, чтобы веревка постоянно была натянута. В итоге получаем окружность.

Именно окружности нам здесь и нужны. Для того, чтобы вы не запутались, я сразу поясню кое-что. Для того, чтобы нам все было ясно про отрезок, нам достаточно знать, какие точки являются концами. Для того, чтобы нам все было ясно про треугольник, нам надо точно знать, какие точки являются его вершинами. Для того, чтобы знать абсолютно все про окружность, нам надо знать о ней две вещи:

а) какая точка является ее центром

б) какому числу равен ее радиус

Теперь построим две окружности. Центрами окружностей будут концы стороны a, при этом центр первой — начало луча, а второй — нет. Радиус первой окружности — длина стороны b, радиус второй — длина стороны c. Главное, что вам надо себе представить — это то, что при подходящих a, b и с окружности пересекутся ровно в двух точках. Зачем нам эти точки? Давайте вспомним, что такое окружность. Это множество всех точек, которые удалены от центра окружности на расстояние, равное радиусу. Это значит, что если две окружности пересеклись, то каждая точка пересечения одновременно лежит на обеих окружностях, а значит, удалена от их центров на их радиусы. То есть каждая точка пересечения наших окружностей удалена от центра первой на длину b, а от центра второй на длину c. То есть если мы соединим одну из точек пересечения с центрами окружностей, мы получим треугольник, стороны которого равны a (расстояние между центрами окружностей), b и c (радиусы окружностей). Причем поскольку точки пересечения окружностей лежат в разных полуплоскостях относительно изначального луча, то в заданной полуплоскости относительно заданного луча можно построить ровно один треугольник, с заданным расположением заданных сторон. Следовательно, третий признак равенства треугольников удовлетворяет аксиоме о построении треугольника.

Но здесь нельзя не сделать пару оговорок.

Во-первых, мы никак не доказывали то, что окружности могут пересечься не более, чем в двух точках и то, что эти две точки лежат в разных полуплоскостях относительно прямой, проходящей через центры окружностей. Именно поэтому вышеприведенное утверждение не является доказательством третьего признака. Это всего лишь способ дать вам почувствовать, как он работает, и заодно научить вас строить треугольник по трем сторонам.

Во-вторых, внимательный читатель заметил слова «при подходящих a, b и с окружности пересекутся ровно в двух точках». Означает ли это, что бывают неподходящие для построения треугольника наборы из трех отрезков? Безусловно. Представьте себе очень длинный отрезок a и очень короткие b и c. В этом случае окружности просто «не дотянутся» друг до друга, и у них не будет точек пересечения. Читатели с воображением уже догадались, что возможен еще один вариант, когда a=b+c и окружности пересекутся, но ровно в одной точке, которая лежит на луче, поэтому такой случай тоже не годится. Следовательно, для того, чтобы можно было построить треугольник по трем сторонам, требуется, чтобы длина каждой из них была меньше суммы длин двух других. Это условие называется неравенством треугольника. Кстати, в отличие от признаков равенства треугольников, неравенство треугольника можно вполне строго доказать, используя аксиому о длине линии и вспомнив определение отрезка, по которому он — кратчайшая линия между двумя точками.

Докажем, что в любом треугольнике длина любой стороны меньше суммы двух других:

Возьмем любой треугольник. Выберем любые две его вершины. Эти точки соединены двумя линиями: первая является стороной треугольника, вторая — ломаная, состоящая из двух других сторон треугольника. По определению отрезка, первая линия короче любой другой, соединяющей эти точки, следовательно, она короче второй. По аксиоме о длине линии, длина второй линии равна сумме длин двух сторон треугольника. Следовательно, длина стороны треугольника, соединяющей выбранные нами точки, меньше суммы длин двух других сторон. А поскольку мы можем выбрать любые две вершины треугольника, то это неравенство выполняется для любой стороны, что и требовалось доказать.

Задание: Проверьте, работает ли признак равенства треугольников по трем углам? Обоснуйте свой ответ.

• - На самом деле, циркуль приходит к нам на помощь гораздо раньше, потому что ни угол, ни отрезок, равный данному, без него тоже не построишь. Но страшную правду о том, как строятся отрезки, углы, и другие простейшие геометрические объекты, я приберегу для другой главы.