5. О математических доказательствах.

Почему-то в традиционных учебниках геометрии либо обходится стороной, либо обсуждается вскользь очень важный вопрос: что такое математическое доказательство? Обычно, доказательство — это набор утверждений, соединенных какими-либо логическими связями. Утверждение — это фраза, в которой содержится какая-то информация. Например, «точка А лежит на прямой b», «угол альфа равен 60 градусам», и так далее. Утверждения бывают правдивые, а бывают ложные. Например, утверждение «все яблоки красные» ложно, поскольку существуют не только красные яблоки. А утверждение «все яблоки — фрукты» правдиво, поскольку не бывает таких яблок, которые фруктами не являются. Теперь рассмотрим несколько типов логических связей между утверждениями.

1) Следствие

Формально, следствие — это один из видов утверждения. Например, пусть у нас есть коробка, в которой что-то лежит. Сделаем два утверждения:

а) В коробке лежит яблоко

б) В коробке лежит фрукт

Каждое из этих утверждений может быть истинным или ложным, поскольку мы не знаем, что в коробке. Теперь построим утверждение следствия: «Если в коробке лежит яблоко, то в коробке лежит фрукт». Для того, чтобы узнать, верно ли наше следствие, надо проверить, всегда ли выполняется второе высказывание в случае, если выполняется первое. Данное следствие является верным, поскольку если первое утверждение верно, и в коробке лежит яблоко, то это обязательно означает, что в коробке лежит фрукт.

Задание: является ли верным следствие «Если в коробке лежит фрукт, то в коробке лежит яблоко»? Обоснуйте свой ответ.

Чтобы не писать ответ сразу после задания, расскажу пока, что доказать неправильность следствия, как правило, просто — достаточно придумать ситуацию, в которой выполняется первое утверждение и не выполняется второе. Доказать же верность следствия гораздо сложнее, поскольку надо убедиться, что мы действительно перебрали все возможные ситуации, в которых первое утверждение истинно, и ни в одной из этих ситуаций второе утверждение не ложно. Также для краткости записи существует значок «следовательно». Например, «в коробке фрукт => в коробке яблоко».

Думаю, что все желающие уже подумали над заданием, и можно рассказать, что, конечно, данное там следствие является неверным. Действительно, предположим, что в коробке лежит груша. Тогда первое утверждение верно, поскольку груша — фрукт, а второе утверждение неверно, поскольку груша не является яблоком. Таким образом, мы получили очень важную информацию: Если верно следствие А=>B, то это вовсе не означает, что верно также следствие B=>A*, где A и B — любые утверждения.

*- Это утверждение также можно сформулировать так: следствие (A=>B) => (B=>A) не всегда является верным. Если вы поняли, почему, то вы молодец.

2) Противоположные и обратные утверждения.

Эти два слова ни в коем случае нельзя путать. Сейчас я постараюсь объяснить, что они означают. Для каждого утверждения существует противоположное ему. Например, утверждение «существует не красное яблоко» противоположно утверждению «все яблоки — красные». Утверждение, противоположное утверждению А, обозначается ¬A. Очевидно, что ¬(¬A)=A, то есть утверждение, противоположное противоположному утверждению, это и есть оно само. Также очевидно, что если А истинно, то ¬A ложно и наоборот.

Для каждого следствия существует обратное ему следствие. Например, следствие A=>B обратно следствию B=>A. Очевидно, что следствие, обратное обратному это и есть само следствие.