3. Поговорим о линиях.
Хоть и нельзя дать строгое определение линии, можно попробовать объяснить, что это такое и точно нужно ввести классификацию линий, чтобы в будущем вы всегда точно понимали, о чем я говорю. Конечную линию представить себе очень просто — представьте себе веревку, которая как-то лежит на земле. Бесконечную линию логично было бы представлять себе, как бесконечную веревку, но поскольку человеческий мозг не умеет представлять себе бесконечность, забудьте пока об этом. Тем более, что единственный вид бесконечных линий, с которым нам придется работать — это прямые. Конечные линии различают по трем признакам:
1.Замкнутая или незамкнутая:
2. Самопересекающаяся или несамопересекающаяся (ужасные слова, завидую англоязычным математикам, у которых просто self-crossing):
3. Прямая, кривая или ломаная:
Раз уж мы начали разговор о линиях, давайте сразу договоримся, что у каждой конечной линии есть длина. Несложно понять, что такое длина конечной линии, если представлять линию в виде веревки. Какой бы ни была эта веревка, если она конечна, то ее можно собрать и измерить линейкой, получив ее длину.
Аксиома о длине линии: Если на конечной линии лежит точка, то длина линии равна сумме длин частей, на которые ее делит эта точка. Здесь все просто: если разрезать веревку на две части, то суммарная длина частей будет равна исходной длине веревки. Как следствие, длина отрезка равна сумме длин отрезков, на которые он делится любой точкой, лежащей на нем. Также часто длину отрезка с концами в точках A и B называют расстоянием между точками A и B.
Напоследок познакомимся с одной из самых важных линий в геометрии — с окружностью. Пусть дана произвольная точка О и произвольное положительное число R. Окружность - это фигура, состоящая из всех точек плоскости, удаленных от точки О на расстояние, равное R. Точка О называется центром окружности, число R – радиусом, а число 2*R – диаметром.
Задание — по картинкам выше определите, к каким типам линий принадлежит окружность.
4. Углы.
Любая прямая делит плоскость на две полуплоскости. Здесь мы снова заглядываем в ту самую бездну, поскольку нельзя дать внятное определение понятию «плоскость». Но чтобы вы хоть что-то могли себе представить, можно сказать, что плоскость выглядит как бесконечно большой и бесконечно тонкий* лист кальки, на котором мы что-то рисуем и смотрим на просвет, поэтому совершенно не важно, с какой стороны мы нарисовали тот или иной объект.
* - В отличии от плоскости, в математике есть очень четкое определение словам «бесконечно такой-то». Применимо к данному случаю оно звучит так: какой бы большой и какой бы тонкий вы лист не представили себе, настоящая плоскость все равно больше и тоньше.
Если мы возьмем этот бесконечный лист и проведем через него прямую (тоже бесконечную), то, очевидно, она разделит лист на две части. Эти части и называются полуплоскостями, на которые данная прямая делит плоскость.
Аксиома о полуплоскостях: Отрезок пересекает прямую тогда и только тогда, когда его концы лежат в разных полуплоскостях относительно этой прямой. По сути, в этой аксиоме говорится, что если ваш дом и дом вашего друга стоят на разных сторонах улицы, то, чтобы пойти к нему в гости, вам придется перейти через дорогу. А если на одной — то не придется.
Любая точка, лежащая на прямой, делит эту прямую на две полупрямых, при этом данная точка называется началом обеих полупрямых. Полупрямые также часто называют лучами, поскольку полупрямая очень похожа на луч света: у нее есть начало и нет конца. Единственное отличие заключается в том, что луч света может отражаться и преломляться, а геометрический луч всегда прямой.
Любые два луча, имеющие общее начало, делят плоскость на две части, называемые углами, причем данные лучи называются сторонами угла, а их общее начало — вершиной угла. Если угол является полуплоскостью, то он называется развернутым. С первой частью этого определения вроде бы и так все ясно, поэтому поясню вторую: представьте себе прямую, которая точкой делится на две полупрямых, которые имеют общее начало, а значит, делят плоскость на два угла. Одновременно эта прямая делит плоскость на две полуплоскости. Поэтому получается, что каждый из углов является полуплоскостью. Еще одно определение развернутого угла — это такой угол, стороны которого дополняют друг друга до прямой. Несложно сообразить, что здесь имеется ввиду то же самое, что и в первом определении.
Ладно, с тем, что такое угол, мы разобрались. Но как его измерять? Если с отрезками все понятно и их можно измерить линейкой, то совершенно не ясно, как измерить часть плоскости. Первое, что приходит в голову, это измерять то, какую долю плоскости занимает угол. То есть представим себе, что плоскость — это такой тортик (очень плоский и очень большой тортик), который мы режем ножом. Поскольку плоскость бесконечна, то любую ее точку можно считать «центром тортика». Так вот, втыкаем нож в середину тортика и делаем разрез из центра до края. Это один луч. Теперь делаем второй разрез от центра до края. Получилось что мы разрезали тортик на две части (не обязательно равных), каждая из которых является углом. Если мы вырезали четвертинку тортика, то можно сказать, что один из получившихся углов равен ¼, а второй — ¾. Если мы разрезали тортик на две равные части (то есть на два развернутых угла), то каждый из получившихся углов равен ½, и так далее. Плюс этой системы измерения углов в том, что ее очень просто понять, минус — в том, что постоянно приходится пользоваться дробями, а это не самые удобные числа. Поэтому в повседневной жизни чаще всего измеряют углы следующим способом.
Возьмем тот же самый тортик и разрежем его на 360 равных ломтиков. Каждый такой ломтик назовем градусом. Теперь любой кусок тортика (угол) мы можем выразить через количество градусов, из которых он состоит. Например, развернутый угол — он же ½ тортика — это 360/2=180 градусов. Угол ¼ — это 360/4=90 градусов, и так далее. По сути эта система измерения ничем не отличается от дробной, просто все величины умножаются на 360 и это позволяет выражать целыми числами наиболее интересные для геометрии углы (½, ¼, 1/3, 1/6, 1/8 и 1/12 — 180, 90, 120, 60, 45 и 30 градусов соответственно). Если же у вас возникает резонный вопрос: «а с чего бы делить тортик ровно на 360 частей? Почему не на 10, или не на 300, или не на 1000?», то поздравляю: вы уловили суть. Число 360 было выбрано в древнем Вавилоне, и связано это было с тем, что 360 делится на 60 (в Вавилоне пользовались шестидесятиричной системой счисления), а в году примерно 360 дней. Но у более поздних математиков это число вызывало множество вопросов, поэтому была придумана следующая система измерения углов, которая по сей день используется всеми математиками.
Внимание! Следующий абзац будет помечен как «для особо одаренных» и снабжен предупреждающими знаками, наглядно предупреждающими о том, что у его читателей может произойти разрыв мозга и/или развиться wtf-синдром. По крайней мере, до тех пор, пока я не придумаю, как это можно нормально написать.
Первая идея, которую вам надо осознать здесь — это то, что на самом деле не важно, какого размера тортик вы режете, угол от этого не зависит. Поэтому не обязательно представлять тортик размером с плоскость, можно взять маленький тортик и так же резать его на углы. Вторая идея — о том, что все системы измерения углов различаются лишь тем, что мы ассоциируем с целым тортиком. В первом случае это была единица. Во втором случае — 360 градусов. В третьем случае это будет длина края круглого тортика радиуса один. Сейчас все объясню. Представьте себе круглый тортик с радиусом один. Это значит, что расстояние от центра тортика до края равно единице. Теперь возьмем веревку и обмотаем тортик вокруг, а потом линейкой измерим длину куска веревки, который потребовался нам, чтобы сделать один оборот вокруг тортика. Это и будет тем числом, которое мы будем дробить. Назовем его l от английского length – длина. Например, угол в ¼ или 90 градусов мы будем называть l/4. Но это еще не все, иначе не стоило затевать этот разговор только для того, чтобы заменить 1 на какое-то непонятное l. И тут я вынужден представить вам число π (это греческая буква, которая читается как «пи»). Это число — точная длинна половины окружности с радиусом 1. Это число нельзя записать конечным количеством цифр, поэтому его обычно заменяют буквой π, но примерное его значение равно 3,14. Это означает, что длина полуокружности примерно в 3,14 раз больше радиуса, а длина целой окружности — соответственно, примерно в 6,28 раз больше радиуса. То есть получается, что длина окружности тортика с радиусом один равна l=2 *π. И именно 2 π обычно используют для записи углов. Например, угол, составляющий ¼ тортика, он же 90 градусов, записывается как 2 π/4= π/2. Угол 1/6, он же 60 градусов, записывается как 2 π/6= π/3. Я понимаю, что у вас давно возник вопрос: зачем придумывать весь этот ужас, если по сути это тот же первый способ измерения, к которому прилепили непонятное число π? На самом деле суть здесь не в изменении числа, которым измеряется угол, а в том, что величина угла оказывается связана с дугой окружности, на которую опирается угол (то есть с тем кусочком окружности, которая оказалась внутри угла). А раз каждому углу соответствует часть окружности, которая является линией, значит, к углам можно применить аксиому о длине линии и получить Аксиому о величине угла: если угол делится лучом, выходящим из его вершины, на два угла, то сумма величин этих углов равна величине исходного угла.
Итак, вы узнали о трех способах измерения углов. Первый из них никак не называется (что ужасно несправедливо, поскольку он, на мой взгляд, самый удобный), второй называется градусной мерой угла, а третий — радианной мерой угла. Поскольку большинству из вас после школы никогда не понадобится никакая мера угла, кроме градусной, именно она будет «государственным языком» учебника. Но для туристов в некоторых важных местах будут таблички с переводом в радианную меру.