1. Вступление.

Основная беда современных учебников и преподавателей геометрии - то, что они пытаются выдать геометрию за этакое здание, которое покоится на прочном фундаменте аксиом и устремляется ввысь к все более сложным теоремам. Тогда как на самом деле здание это висит над бездной, указывать на которую детям считается то ли неприличным, то ли опасным для их неокрепшей психики. Также современная геометрия часто стыдливо умалчивает о том, откуда она произошла и прикрывается относительно недавним (конец 19-начало 20 вв.) изобретением - аксиоматическим методом. Суть этого метода в том, что если вам известны некоторые бесспорные утверждения о каком-либо объекте, то вы логическим путем сможете доказать какие-то дополнительные утверждения. При этом ни на одном этапе этой работы вам не нужно понимать, о чем вы говорите. Вот простейший пример аксиоматического метода: пусть нам известно, что орлапаны спят каждый день с 10 до 15 часов. Также пусть нам известно, что орлапаны не могут спать более, чем 7 часов в сутки. Отсюда мы логически можем заключить, что помимо сна с 10 до 15 часов, орлапаны могут спать не более, чем 2 часа в сутки. А, следовательно, мы можем сформулировать теорему: "За ночь орлапаны спят не более двух часов". Вроде все ясно и логично, но, заметьте, за все время рассуждения вы так и не узнали, кто такие орлапаны. Да я и сам этого не знаю, если честно.

Именно так и работает современная геометрия. Считается, что ее цель - научить человека обращаться с абстрактными логическими утверждениями, а то, что он не понимает, о чем тут вообще идет речь - не беда. На самом деле - беда, поэтому давайте вспомним, с чего все началось. «Геометрия» в переводе с греческого означает «землемерие». То есть изначально это была наука о том, как понять, чей участок земли больше, как поделить участок земли на равные части, и так далее. Понятно, что никаких точек, прямых, плоскостей и окружностей в геометрии сначала не было, а была только поверхность земли и инструменты землемера: колышки и веревки. С них и начнем.

2. Точка, прямая и первые аксиомы.

Самые простые понятия геометрии - точка и прямая - обычно никак не определяются. С точкой все ясно - ее прообразом является колышек, воткнутый в землю. С той лишь разницей, что у колышка есть толщина, а у точки ее нет, либо она ничтожно мала по сравнению с размерами любых других объектов. Понять, что такое прямая, совсем не так просто. Потому определим сначала отрезок. Отрезком изначально являлся кусок веревки, один конец которого привязан к одному колышку, а другой - к другому, причем так, чтобы веревка была натянута, то есть пролегала между колышками по кратчайшему из возможных путей. Отсюда сразу вытекает геометрическое определение: отрезок - это кратчайшая линия, соединяющая две точки, причем эти точки называются концами отрезка. Здесь мы впервые оказываемся на краю вышеупомянутой бездны, так как четко определить, что такое линия, практически невозможно. Можете смириться с этим, а можете запастись альпинистским снаряжением, вернуться потом сюда и попробовать дать определение линии. Удачи.

Итак, прямая. Во-первых, прямая - это линия. И не спрашивайте меня, что это такое. Во-вторых, прямая - это бесконечная линия. Я уже почти слышу скрип вашего воображения, но крепитесь, потому что дальше хуже. Потому что прямая - это такая бесконечная линия, что если взять две любые точки на ней, то часть линии между ними окажется отрезком. Ничего не понятно? Сейчас попробую объяснить. Представьте себе бесконечную веревку, которая лежит на плоской земле. Или если бесконечную не получается, то хотя бы очень-очень длинную. А теперь раз - и в любые 2 места на этой веревке втыкаем колышки, не двигая при этом саму веревку. Если кусок веревки между колышками не оказался натянут - у меня для вас плохие новости, ваша веревка - не прямая. А если оказался - то это ничего не значит, поскольку с любыми двумя колышками должно так получаться, а не только с этими двумя. Мораль этой басни в том, что прямую представить себе невозможно. Но если очень сильно постараться, то можно вообразить что-то, немного на нее похожее.

Прямая, точка и отрезок - лучшие друзья. Об их отношениях так и не сняли сериал, зато придумали несколько неплохих аксиом. Аксиома — это утверждение, которое мы считаем очевидным и заключаем договор, по которому вы не требуете от меня доказывать это утверждение, а я не заставляю вас читать то, что у меня получится, когда я попробую.

Аксиома о двух точках и прямой: Через любые две точки можно провести ровно одну прямую. Но поскольку мы с вами уже убедились, что представлять себе прямую - дело неблагодарное, то с тем же успехом можно сказать, что через любые две точки можно провести ровно один отрезок. Действительно, возьмем 2 колышка, воткнем их в землю, натянем между ними кусок веревки. Это можно сделать всегда (подразумевается, что земля абсолютно голая, плоская и ровная). Но если мы попытаемся натянуть вторую веревку, то она совпадет с первой, а значит, отрезок действительно только один.

Аксиома о пересечении прямых: Если две прямые пересекаются, то только в одной точке. Ключевые слова здесь - "только в одной". Опять же, эта аксиома основана только на том, что нельзя натянуть две веревки так, чтобы у них совпадали концы, но не совпадали сами веревки.

Если прямые вообще не пересекаются, то они называются параллельными. Если вдруг не понимаете, о чем я, то представьте себе прямые бесконечные рельсы.

На самом деле две вышеприведенные аксиомы логически зависимы, то есть если выполняется одна из них, то другую можно доказать, а если одну из них признать ложной, то и вторая тоже не выполняется. Попробуйте сами, это гораздо проще, чем представить себе прямую.