Исследование спектров сигналов

Цель работы: исследование формы и спектра гармонических сигналов и периодических последовательностей импульсов. Формирование навыков спектрального анализа сигналов на ПК.

Краткие сведения из теории

Рассмотрим несколько примеров периодических колебаний, часто используемых в различных радиотехнических устройствах.

Прямоугольное колебание (рисунок 2.2)

Подобное колебание, часто называемое меандром (греческое слово, обозначающее орнамент), находит широкое применение в измерительной технике.

При выборе начала отсчета времени по рисунку 2.1, а функция является нечетной, а по рисунку 2.2, б - четной. Применяя формулы

(2.1)

н аходим для колебания, изображенного на рисунке 2.1, а,

(2.2)

Учитывая, что , получаем

0, при n = 0, 2, 4, …

, при n = 1, 3, 5, … (2.3)

Начальные фазы в соответствии с равны для всех гармоник.

Запишем ряд Фурье в тригонометрической форме:

(2.4)

При отсчете времени от середины импульса (рисунок 3.3, б) функция является четной относительно t и для нее

(2.5)

Графики 1-й (п = 1) и 3-й (п = 3) гармоник и их суммы изображены на рисунок 2.3, а. На рисунке 2.3, б эта сумма дополнена пятой гармоникой, а на рисунке 2.3, в - седьмой.

С увеличением числа суммируемых гармоник сумма ряда приближается к функции всюду, кроме точек разрыва функции, где образуется выброс. При величина этого выброса равна 1,18 E, т. е. сумма ряда отличается от заданной функции на 18%. Этот дефект сходимости в математике получил название явления Гиббса. Несмотря на то, что в рассматриваемом случае ряд Фурье не сходится к разлагаемой функции в точках ее разрыва, ряд сходится в среднем, поскольку при выбросы являются бесконечно узкими и не вносят ни какого вклада в величину интеграла.

Пилообразное колебание (рисунок 2.4)

С подобными функциями часто приходится иметь дело в устройствах для развертки изображения в осциллографах. Так как эта функция является нечетной, ряд Фурье для нее содержит только синусоидальные члены. С помощью формулы

(2.6)

нетрудно определить коэффициенты ряда Фурье, Опуская эти выкладки, напишем окончательное выражение для ряда

(2.7)

Как видим, амплитуды гармоник убывают по закону , где

На рисунке 2.4 показан график суммы первых пяти гармоник (в увеличенном масштабе).

Последовательность униполярных треугольных импульсов (рисунок 2.6)

Ряд Фурье для этой функции имеет следующий вид:

(2.8)

На рисунке 2.6 изображена сумма первых трех членов этого ряда. В данном случае отметим более быстрое убывание амплитуд гармоник, чем в предыдущих примерах. Это объясняется отсутствием разрывов (скачков) в функции.