2.3. Методи математичної статистики в задачах аналізу надійності

Для розв'язання задач надійності в електроенергетичних системах налагоджено збирання інформації про відмови електроустановок. Збирання статистичних даних проводиться на основі єдиної системи обліку, яка включає в себе ведення первинної технічної документації про відмови й аварії, складання технічної звітності, збереження отриманих статистичних даних та їх централізовану обробку. Зібраний статистичний матеріал служить не тільки для потреб аналізу надійності, а й для вивчення причин відмов та розробки заходів, спрямованих на підвищення надійності електроустановок, які реалізуються на стадіях проектування, виготовлення, монтажу та експлуатації.

Ефективним засобом нагромадження статистичної інформації про відмови є випробування, хоча вони мають такий недолік, як значні витрати часу та матеріальні затрати. Випробування повинні проводитися в умовах і режимах роботи, близьких до експлуатаційних. Вони поділяються на визначальні та контрольні. Визначальні випробування проводять для всіх новостворених та модернізованих виробів на їх дослідних зразках з метою визначення фактичних значень показників надійності та перевірки відповідності показників технічному завданню чи існуючим нормам. Контрольні випробування простіші. Вони покликані констатувати факт, що значення показника надійності досліджуваного виробу не нижче встановленої норми з заданою імовірністю (переважно з імовірністю 0,8). Контрольні випробування повинні проводитися на базових моделях устаткування одного типу періодично в терміни, передбачені технічними умовами, а також після змін конструкції, матеріалів чи технології виготовлення, які впливають на показники надійності.

Збирання інформації про відмови, її обробка, встановлення значень показників надійності за статистичними даними, планування випробувань та спостережень тощо виконують на базі методів математичної статистики. Використання цих методів проілюстровано нижче на прикладі трьох важливих для практики надійності задач: встановлення закону розподілу випадкової величини; оцінка ступеня достовірності статистичних показників надійності; визначення необхідних обсягів статистичних даних. Методи обробки статистичної інформації, одержаної в результаті випробувань чи за даними експлуатації, однакові, тому надалі джерела інформації про відмови розмежовуватися не будуть.

Встановлення закону розподілу випадкової величини. Нехай у результаті спостережень, випробувань чи вимірювань встановлено n значень деякої випадкової величини Х (часу безвідмовної роботи, амплітуди струму блискавки тощо). Одержану сукупність значень Х називають простим статистичним рядом. Для встановлення закону розподілу величини Х виділяють три етапи:

- обробка даних простого статистичного ряду та побудова гістограми чи статистичної функції розподілу;

- вибір виду теоретичного розподілу та розрахунок його параметрів;

- перевірка відповідності теоретичного розподілу статистичному за критеріями згоди.

Етап 1. Діапазон значень Х ділять на m інтервалів (розрядів), підраховують кількість значень n_i в кожному розряді, обчислюють статистичну частоту (імовірність потрапляння випадкової величини в і-й інтервал) за формулою

(2.53)

і будують статистичний ряд (табл. 2.2). Якщо випадкова величина потрапляє точно на межу двох інтервалів, то до суміжних значень n_i та n_i+1 додають по 0,5. Число розрядів рекомендується вибирати рівним 10...20.

Таблиця 2.2

Статистичний ряд випадкової величини

Інтервали значень	x1, х2	x2, х3	...	хi, хi+1	...	хm, xm+1
Кількість значень в інтервалі	n1	n2	...	ni	...	nm
Статистична частота			...		...

Далі статистичний ряд оформляють графічно у вигляді гістограми (рис. 2.14,а). Для цього по осі значень х відкладають розряди і на кожному розряді, як на основі, будують прямокутник висотою

(2.54)

Повна площа гістограми згідно (2.53) дорівнює одиниці. Гістограма завжди вписується у криву густини розподілу випадкової величини Х.

Рис. 2.14. Гістограма (а) і статистична функція розподілу (б)

Для побудови статистичної функції розподілу (рис. 2.14,б) розраховують її значення в дискретних точках, що відповідають межам інтервалів

(2.55)

Етап 2. Тут розв'язують задачу вирівнювання статистичного ряду, яка полягає у виборі кривої теоретичного розподілу, що найкращим способом описує даний статистичний розподіл. Теоретичну криву вибирають переважно, виходячи з міркувань, пов'язаних із суттю задачі (фізикою явища). У разі відсутності таких міркувань теоретичний розподіл вибирають за зовнішнім виглядом обвідної чи . Далі встановлюють значення параметрів теоретичного розподілу, за яких його відповідність статистичному розподілові найповніша. Наприклад, для нормального розподілу (2.13) необхідно правильно встановити параметри Т_ср і s, а для розподілу Вейбулла (2.14) - параметри a i k.

Одним з методів розв'язання такої задачі є метод моментів. За цим методом шукані параметри вибирають з таким розрахунком, щоб деякі найважливіші числові характеристики (моменти) теоретичного розподілу дорівнювали відповідним статистичним характеристикам.

За даними статистичного ряду (табл. 2.2) математичне сподівання (статистичне середнє випадкової величини) і статистичну дисперсію обчислюють як

(2.56)

де х_іср - середнє значення випадкової величини в і-му розряді.

Аналогічно обчислюють статистичні початкові та центральні моменти будь-яких порядків

(2.57)

Припустимо, що висунуто гіпотезу експоненційного розподілу (2.12). Його єдиний параметр може бути визначений двома способами

(2.58)

Якщо для досліджуваного статистичного розподілу та чисельно різні, то бажано знати, яка з формул забезпечує краще наближення експоненційного розподілу до статистичного. На це питання можна відповісти, застосувавши критерії згоди.

Аналогічна ситуація складається, коли визначають два параметри теоретичного розподілу. Їх можна шукати добиваючись збігу математичних сподівань і дисперсій або двох моментів вищих порядків. При цьому не рекомендується користуватися моментами вище четвертого порядку, оскільки точність обчислення моментів зі збільшенням порядку падає.

Етап 3. Узгодженість статистичного та підібраного теоретичного розподілу найчастіше перевіряють, використовуючи критерій згоди К.Пірсона (критерій x_i-квадрат). Не вдаючись у теоретичні засади критерію, наведемо послідовність перевірки узгодженості розподілів.

1. Визначають міру розходження за формулою

(2.59)

де p_i - імовірність попадання випадкової величини в і-й інтервал, визначена за встановленим теоретичним розподілом

(2.60)

2. Визначають параметр r-число «ступенів вільності» розподілу

(2.61)

де s - кількість незалежних умов, накладених на частоти .

Першою незалежною умовою, яка завжди враховується, є умова (2.53) рівності одиниці суми частот усіх розрядів. Другою і наступними умовами є вирази . Враховують ті з виразів, які використовують для визначення параметрів теоретичного розподілу.

3. Звертаються до таблиці розподілу (додаток В) і за розрахованими значеннями та r визначають імовірність p того, що величина, підпорядкована розподілу , перевищить значення, обчислене за формулою (2.59). Якщо p>0.3, то можна вважати, що встановлений теоретичний розподіл добре узгоджується зі статистичним. Допускаються навіть дещо менші значення p.

Приклад 2.8. В енергосистемі для повітряних ліній 35 кВ реєструвався час Т_л роботи між відмовами. Оскільки лінії мали різну довжину l, то щоб узагальнити статистичний матеріал, величина Т_л зводилася до єдиної довжини 100 км за формулою

Зафіксовано 40 значень часу Т, вимірюваного в годинах: 2540, 8800, 12420, 7670, 4070, 3980, 1330, 6870, 1900, 10340, 980, 1590, 3940, 3430, 5550, 4740, 7390, 7540, 9380, 6530, 1200, 1610, 3760, 6320, 15200, 1410, 3340, 3900, 5070, 4290, 8700, 1300, 11380, 2570, 6930, 7720, 1740, 3880, 2630, 4970. Встановити закон розподілу часу роботи між відмовами.

Розв'язання. Значення величини Т лежать в діапазоні 0-16000 годин. Розділимо його на 8 інтервалів і для кожного з них обчислимо величини, вказані в табл. 2.3.

Гістограма, побудована на рис. 2.15 за даними табл. 2.3, показує, що характер зміни в основному відповідає експоненційному розподілові. Тому приймемо гіпотезу цього закону розподілу.

Математичне сподівання часу роботи між відмовами , обчислене за формулою (2.56), дорівнює 5223 години. Крива густини теоретичного розподілу обчислена за формулою (2.9) і проведена на рис. 2.15 штриховою лінією. Наведена в табл. 2.3 теоретична частота р_і розрахована за формулою (2.60).

Для виявлення ступеня узгодженості статистичного та прийнятого теоретичного розподілу за формулами (2.59) і (2.61) розраховано значення =4,34 i r=6. Далі за таблицею розподілу (додаток В) встановлюємо, що ймовірність p=0,63. Отже узгодженість статистичного і теоретичного розподілів забезпечена.

Таблиця 2.3

Результати обробки статистичних даних

Інтервали величини Т		0- -2000	2000- -4000	4000- -6000	6000- -8000	8000- 10000	10000- -12000	12000-14000	14000-16000
кількість значень Т	ni	9	10	6	8	3	2	1	1
середнє значення Т	Tіср	1451	2997	4782	7121	8960	10860	12420	15200
статистична частота		0,225	0,25	0,15	0,20	0,075	0,05	0,025	0,025
теоретична частота	pi	0,32	0,22	0,15	0,11	0,07	0,05	0,03	0,02

Рис. 2.15. Гістограма величини Т

Слід відзначити, що критерії згоди оцінюють відповідність теоретичного розподілу наявному статистичному матеріалові, а не реальному розподілові досліджуваної випадкової величини. Теоретичний розподіл буде відповідати реальному лише в разі достовірності статистичних даних.

Оцінка ступеня достовірності статистичних показників надійності. Встановлене за даними статистики значення показника надійності в разі наявності обмеженого статистичного матеріалу завжди містить в собі елемент випадковості. Таке наближене випадкове значення називають оцінкою тому, що воно відрізняється від істинного значення показника. Очевидно, що допустимість використання оцінки замість істинного значення повинна бути обгрунтована з метою уникнення істотних похибок у розрахунках надійності, які можуть спричинюватися використанням «неякісних» показників.

Нехай для випадкової величини Х, математичне сподівання m i дисперсія D якої невідомі, встановлено n значень і розраховано оцінку математичного сподівання та незміщену оцінку дисперсії .

(2.62)

Потрібно виявити точність і надійність оцінки .

Величина залежить від числа значень n величини Х і є випадковою. Закон її розподілу можна вважати нормальним, оскільки є сумою n незалежних однаково розподілених величин х_і. Математичне сподівання випадкової величини позначимо , а середньоквадратичне відхилення - . Тоді згідно з положеннями теорії ймовірностей, отримаємо

(2.63)

Крива густини розподілу величини показана на рис. 2.16.

Рис. 2.16. Розподіл оцінки

Якщо точність оцінки задати значенням , то і математичне сподівання m повинно накриватися інтервалом , як показано на рис. 2.16.

Обчислена за формулою (2.62) оцінка , будучи розподіленою за нормальним законом, може прийняти будь-яке значення . Це значить, що інтервал не завжди накриває значення m, а лише з певною ймовірністю b. Чим більша ця ймовірність, тим надійнішою є оцінка при точності e_β.

Величини e_β і β взаємопов'язані. Зі зменшенням e_β (підвищенням точності) звужується інтервал I_β і зменшується площа, обмежена кривою густини розподілу та інтервалом I_β, тобто зменшується імовірність β.

З двох величин e_β і β заданою може бути лише одна. Найчастіше задають значення b, причому достатньо високі (в межах 0,8...0,99), щоб забезпечити необхідну надійність оцінки, а значення e_β розраховують. Оскільки b є ймовірністю потрапляння розподіленої за нормальним законом випадкової величини в інтервал I_β її значень, то, враховуючи (2.13) та близькість значень і m, дістанемо

(2.64)

звідки

(2.65)

Функція , позначена t_β є оберненою до нормальної функції розподілу . Для залежності t_β (b) складено табл. 2.4.

Таблиця 2.4

Залежність t_β (b) для обчислення ширини довірчого інтервалу

b	tβ	b	tβ	b	tβ	b	tβ
0,80	1,282	0,85	1,439	0,90	1,643	0,95	1,960
0,81	1,310	0,86	1,475	0,91	1,694	0,96	2,053
0,82	1,340	0,87	1,513	0,92	1,750	0,97	2,169
0,83	1,371	0,88	1,554	0,93	1,810	0,98	2,325
0,84	1,404	0,89	1,597	0,94	1,880	0,99	2,576

Залежність (2.65) дозволяє інтервал I_β записати у вигляді

(2.66)

і точність оцінки задавати не значенням e_β, а шириною інтервалу I_β.

Отже, істинне значення показника надійності, для якого за статистичними даними встановлена оцінка , лежить в інтервалі I_β з імовірністю b. Інтервал I_β називають довірчим інтервалом, а ймовірність b - довірчою імовірністю.

Приклад 2.9. Визначити оцінку для середнього часу відновлення трансформаторів 110 кВ та побудувати її довірчий інтервал I_β для довірчої імовірності b=0,8. Зібрана в електроенергосистемі статистична інформація про значення часу відновлення в годинах задана у вигляді простого статистичного ряду: 248, 28, 317, 46, 204, 211, 140, 82, 60, 223, 64, 306, 30, 196, 92, 218, 106, 161, 210, 246, 52, 330, 206, 120, 223, 59, 272, 36, 145, 230, 74, 347, 112, 44, 251, 173.

Розв'язання. Оцінка для середнього часу відновлення.

Незміщена оцінка дисперсії часу відновлення та його середньоквадратичне відхилення

У табл. 2.4 для b=0,8 знаходимо t_β=1,282. Отже, довірчий інтервал I_β оцінки год для довірчої імовірності b=0,8 становить

Для таких рівнів точності та достовірності оцінки необхідно продовжити збирання даних, щоб збільшити обсяги статистичної інформації.

Встановлення мінімально необхідних обсягів статистичних даних. Мінімально необхідні обсяги статистичної інформації залежать від досліджуваного показника надійності, закону розподілу часу безвідмовної роботи об'єкта, поставлених вимог до точності визначення показника та від плану випробувань чи спостережень.

Спостереження за відмовами та випробування на надійність виконують за одним з таких планів: [NUN]; [NUr]; [NRr]; [NMr]; [NUT]; [NRT]; [NMT]; [NUS]; [NRS]; [NMS] і т.д. У наведених позначеннях планів кожна літера несе певний зміст: N - обсяг вибірки; U - невідновлювані об'єкти; R - відновлювані замінювані об'єкти; М - відновлювані ремонтовані об'єкти; r - число відмов чи об'єктів, що відмовили; T - наробок або час випробувань; S - випробування з поточними змінами.

План [NUr], наприклад, - це план випробувань (спостережень), згідно з яким випробовують одночасно N об'єктів; об'єкти, що відмовили не відновлюють і не замінюють; випробування тривають до відмови r об'єктів. Якщо випробування доводять до відмови останнього об'єкта, то план [NUr] вироджується у план [NUN]. Згідно з планом [NMT] одночасно випробовують N об'єктів; після кожної відмови об'єкт відновлюють; випробування тривають протягом заданого часу Т або до нагромадження наробку Т.

Обсяги випробувань (спостережень) - це число випробовуваних об'єктів N для плану [NUN]; число випробовуваних об'єктів N і число відмов r для планів [NUr], [NMr], [NRr]; число випробовуваних об'єктів N і тривалість Т випробувань для планів [NUT]; [NRT]; [NMT].

Мінімально необхідні обсяги спостережень визначають за ГОСТ 27.502-97 «Надійність в техніці. Система збору та обробки інформації. Плануванняспостережень». У цьому стандарті для різних планів спостережнь наводять формули та відповідні їм таблиці, за якими можна встановити мінімально необхідні значення N, r, T. Для плану [NMr], наприклад, для екпоненційного розподілу випадкової величини можна встановити необхідне значення r за формулою

(2.67)

де - квантиль розподілу ² з 2r ступенями вільності, що відповідає імовірності 1-b; b - довірча ймовірність, яку вибирають з ряду 0,80; 0,90; 0,95; 0,99; e - гранична відносна похибка, яку вибирають з ряду 0,05; 0,10; 0,15; 0,20.

Формулі (2.66) відповідає взята з ГОСТ 27.502-83 табл. 2.5. План [NMr] не вимагає фіксації значень N. Через відновлюваність об'єкта дослідження необхідне значення r можна отримати, спостерігаючи за роботою будь-якої кількості об'єктів.

Таблиця 2.5

Число відмов r для планів [NRr] i [NMr]

	r для b
	0,80	0,90	0,95	0,99
0,05	315	650	1000	2500
0,10	80	200	315	650
0,15	50	100	150	315
0,20	25	50	100	200

Приклад 2.10. Визначити необхідний обсяг спостережень за роботою кабельних ліній 10 кВ для встановлення середнього значення часу роботи між відмовами Т_ср з граничною відносною точністю e=0,1 та довірчою імовірністю b=0,9.

Розв'язання. Кабельні лінії - об'єкти відновлювані ремонтовані, тому вибираємо план [NMr]. Час роботи між відмовами підпорядковується експоненційному законові, тому звертаємося до табл. 2.5 і для заданих значеннь e=0,1 та b=0,9 визначаємо мінімальну кількість відмов r=200, які необхідно зафіксувати, щоб отримати достовірне значення Т_ср.

За даними табл. 3.1 частота відмов кабельної лінії 10 кВ довжиною 100 км становить w_в=7,5 1/рік. Оскільки необхідний обсяг спостережень V доцільно виражати в одиницях «км · роки», то

Таким чином, спостереження необхідно вести протягом 1 року за лініями сумарної довжини 2660 км або протягом більшої кількості років за лініями меншої сумарної довжини.

З усіма особливостями планування визначальних та контрольних випробувань на надійність і, в першу чергу, з питаннями визначення мінімально необхідних обсягів випробувань можна ознайомитися в роботі [12], а також у ГОСТ 24.410-97 «Надійність в техніці. Методи контролю показників надійності та плани контрольних випробувань на надійність».