Розділ 2. Аналіз, нормування та забезпечення надійності електроустановок

Електроустановками називають сукупність машин, апаратів, ліній та допоміжного устаткування, призначених для виробництва, трансформації, передачі, розподілу електроенергії та перетворення її в інші види енергії.

Електроустановки ЕЕС - це в першу чергу елементи її структури: ЛЕП, генерувальні агрегати ЕС, трансформатори та інше електроустаткування ЕС і ПС. Проблема надійності електроустановок розв'язується у таких трьох основних напрямках:

- оцінка значень показників надійності існуючих та новостворюваних електроустановок;

- розробка та реалізація заходів щодо забезпечення необхідного рівня надійності електроустановок під час їх створення та експлуатації;

- оптимізація та нормування рівня надійності електроустановок.

Будь-які дослідження надійності та вирішення питань її забезпечення починаються для електроустановок з вивчення особливостей їх функціонування та структури, причин виникання та характеру формування відмов. Отримані відомості разом з існуючим математичним апаратом дозволяють побудувати математичні моделі надійності електроустановок, виконати з їх допомогою необхідні дослідження та розробити рекомендації щодо забезпечення ефективнішого їх функціонування.

Конкретні задачі аналізу, забезпечення, нормування та оптимізації надійності електроустановок розв'язують на стадіях їх розробки (проектування), виготовлення та експлуатації. В усіх цих часових періодах вишукують найбільш ефективні підходи, способи і засоби забезпечення надійності, які при малих матеріальних затратах дозволяють істотно підвищити рівень надійності виконання електроустановками їх безпосередніх функцій.

2.1. Моделі надійності електроустановок як невідновлюваних об'єктів

Електроустановку математично можна абстрагувати як невідновлюваний або відновлюваний об'єкт.

Реально всі електроустановки відновлювані, проте гіпотеза невідновлюваності дозволяє детальніше проаналізувати період їх роботи, оскільки період відновлення в цьому випадку не розглядається.

Показники надійності невідновлюваних об'єктів. Для оцінки надійності невідновлюваних об'єктів використовують імовірнісні характеристики випадкової величини Т - часу безвідмовної роботи. Величина Т для конкретного об'єкта може прийняти значення більші від заданого часу t з певною імовірністю. Для різних об'єктів ця імовірність різна. Надійніше працює той об'єкт, у якого вона більша. Це значить, що така імовірність може служити мірою надійності.

Таким чином, надійність невідновлюваного об'єкта або, що те ж саме, імовірність безвідмовної роботи в інтервалі часу , визначають, як імовірність того, що час Т безвідмовної роботи буде більшим від заданого часу t, тобто

(2.1)

Функцію називають функцією надійності роботи об'єкта.

Використовують також функцію ненадійності або імовірність відмови в інтервалі часу , яка є функцією розподілу часу безвідмовної роботи

(2.2)

На рис. 2.1 показано результати спостережень за роботою об'єктів двох різних типів. В інтервалі часу більшість об'єктів першого типу відмовили. Це значить, що для них імовірність відмови більша, а ймовірність безвідмовної роботи менша порівняно з об'єктами другого типу. Отже, вони характеризуються нижчим ступенем надійності.

Рис. 2.1. Статистика відмов для об’єктів двох різних типів

Величина Т може бути не тільки часом, але й виконаною роботою, наприклад об'ємом вичерпаної екскаватором землі. Тому в загальному випадку Т - це наробок до відмови.

Функції та є інтегральними показниками надійності, бо дозволяють оцінювати надійність роботи об'єкта в певному інтервалі часу. Для оцінки ступеня надійності в задані моменти часу використовують диференційні (локальні) показники: густину розподілу часу безвідмовної роботи (швидкість зміни функції надійності)

(2.3)

та інтенсивність відмов (відносну швидкість зміни функції надійності)

(2.4)

Показник характеризує ступінь скупченості значень часу безвідмовної роботи Т навколо заданого часу t, а показник характеризує надійність об'єктів, які залишилися працювати після моменту t. Чисельно інтенсивність відмов дорівнює відношенню кількості об'єктів, які відмовили за одиницю часу, рахуючи від деякого моменту t, до кількості об'єктів, що безвідмовно працювали до моменту часу t.

Інтегруючи (2.4) з урахуванням умови одержимо важливий у теорії надійності зв'язок функції надійності з інтенсивністю відмов

(2.5)

Отже, інтегральні та диференційні показники надійності невідновлюваного об’єкта взаємопов’язані і для визначення всіх показників достатньо одного з них. Характер зміни в часі показників надійності в разі експоненційного розподілу часу безвідмовної роботи показано на рис. 2.2.

Рис. 2.2. Зміна в часі показників невідновлюваного об’єкта в разі експоненційного розподілу часу Т

Для оцінки рівня надійності використовують також числові характеристики розподілу часу Т: математичне сподівання , тобто середній час безвідмовної роботи; дисперсію .

	(2.6)
	(2.7)

Будь-який з показників надійності невідновлюваного об’єкта можна встановити за статистичними даними. Статистичні функції показників надійності розраховують за формулами

(2.8)

де n - загальне число контрольованих однакових об'єктів, що працюють в ідентичних умовах; - число об'єктів, що відмовили до моменту t; - число об'єктів, що залишилися працювати після моменту t; - число відмов в інтервалі шириною .

Аналітичну апроксимацію цих функцій можна виконувати, виходячи тільки з закону розподілу величини Т і взаємозв'язків між показниками.

Моделі надійності на основі законів розподілу часу безвідмовної роботи. Модель надійності (математична) - це сукупність встановлених для об'єкта показників , , , , , , кожен з яких характеризує окремі особливості виникання відмов об'єкта, а всі разом вони дають повну інформацію про надійність його роботи в задані моменти часу t та в інтервалі .

Моделі надійності на основі законів розподілу часу безвідмовної роботи будуються для установок, для яких відома тільки статистика відмов. Установка розглядається як «чорна скринька», вміст якої з погляду аналізу надійності не являє собою ніякого інтересу. Наявність статистичних даних про відмови дозволяє встановити закон розподілу часу Т і визначити його параметри , тощо, які використовуються для формування моделі.

У разі експоненційного розподілу часу безвідмовної роботи за статистичними даними визначають лише один параметр, оскільки тут математичне сподівання часу Т та його середньоквадратичне відхилення рівні між собою. Для цього розподілу функція густини має вираз

(2.9)

Функція надійності згідно (2.3) набуває вигляду

(2.10)

а залежність інтенсивності відмов від часу вироджується у сталу величину

(2.11)

Виражаючи показники надійності через l, отримаємо таку математичну модель надійності:

(2.12)

Характер зміни в часі показників надійності зображено на рис. 2.2.

Експоненційний закон розподілу займає особливе місце в теорії надійності. Він широко застосовується завдяки простоті виразів показників надійності та його відповідності умовам нормальної експлуатації технічних об'єктів. Він справедливий для нестаріючих об'єктів, надійність роботи яких у даний час не залежить від попередньої тривалості експлуатації. Основною ознакою експоненційного розподілу часу Т є умова l=const.

У разі загального нормального розподілу часу безвідмовної роботи за статистичними даними визначається два параметри і математична модель надійності електроустановки записується так:

(2.13)

де - функція Лапласа від аргумента (додаток А).

Характер зміни в часі показників надійності ілюструє рис. 2.3.

Рис. 2.3. Зміна в часі показників надійності в разі загального нормального розподілу часу Т

У загальному нормальному розподілі випадкова величина приймає значення в інтервалі . Значення ж часу Т можуть бути тільки додатніми, тому величина Т фактично підпорядкована зрізаному нормальному розподілові, який є частковим випадком загального. У разі ці розподіли практично збігаються. У теорії надійності використовують обидва розподіли для побудови моделей надійності старіючих об'єктів, інтенсивність відмов яких зростає. Старіння об'єкта спричинюється, наприклад, зниженням електричної чи механічної міцності в процесі експлуатації, що й зумовлює зростання інтенсивності відмов.

Широкі можливості для відтворення різних особливостей розподілу часу Т безвідмовної роботи має розподіл Вейбулла. Для цього розподілу

(2.14)

де - гамма-функція від аргумента (додаток Б).

Розподіл Вейбуллa має два параметри k і a. Параметр k визначає масштаб. При його зміні крива розподілу стискується чи розтягується. Від значення параметра a залежить характер зміни в часі інтенсивності відмов (рис. 2.4).

Для побудови моделей надійності електроустановок активно використовують також Гамма-розподіл з його частковим випадком - розподілом Ерланга, розподіл Релея, логарифмічний нормальний розподіл та інші. Проте найширше використовують експоненційний розподіл.

Рис. 2.4. Зміна в часі інтенсивності відмов у разі розподілу часу Т за законом Вейбулла

Розподіл часу безвідмовної роботи електроустановки може бути різним на різних стадіях її експлуатації. На рис. 2.5 зображено типовий для багатьох електроустановок характер зміни інтенсивності відмов у часі. На початку експлуатації (стадія I) інтенсивність відмов підвищена і знижується, бо тут проявляють себе приховані дефекти виготовлення. Час Т на цій стадії підпорядковується розподілу Вейбулла або іншому відповідному розподілові. В умовах нормальної експлуатації (стадія II) інтенсивність відмов стала, розподіл часу Т експоненційний. Наприкінці терміну служби (стадія III) інтенсивність відмов зростає, що зумовлено впливом старіння. Час безвідмовної роботи підпорядковується тут нормальному розподілові або розподілу Вейбулла.

Рис. 2.5. Реальний характер зміни в часі інтенсивності відмов електроустановки

Приклад 2.1. Створити математичну модель надійності силових трансформаторів для початкової стадії експлуатації. У табл. 2.1 наведено значення статистичної інтенсивності відмов трансформаторів у перші 10 років експлуатації, розрахованої за формулою (2.8) на основі даних статистики про пошкоджуваність.

Таблиця 2.1

Інтенсивність відмов трансформаторів

Функція	Роки експлуатації
	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
l*(t), рік-1	0,067	0,083	0,051	0,046	0,016	0,017	0,035	0,013	0,022	0,023
l(t), рік-1	0,109	0,061	0,043	0,034	0,028	0,024	0,021	0,019	0,018	0,018

Розв'язання. Для трансформатора задана тільки статистика відмов, тому модель надійності можна побудувати, використовуючи відомі закони розподілу часу безвідмовної роботи. На рис. 2.6 зображена ламана крива , побудована за даними табл. 2.1. Цю криву можна апроксимувати аналітичною залежністю , взятою з відповідного розподілу. Зменшення в часі інтенсивності відмов характерне для розподілу Вейбулла за умови . Тому використаємо функцію моделі (2.14). Не важко встановити числові значення коефіцієнтів апроксимуючого виразу: . Остаточно отримуємо таку математичну модель надійності роботи трансформаторів

Рис. 2.6. Залежність інтенсивності відмов від часу експлуатації

Наведений приклад не відображає загальних принципів побудови моделей надійності на основі законів розподілу часу безвідмовної роботи. Встановлення закону розподілу випадкової величини за статистичними даними про відмови виконується за певними правилами (§ 2.3) і вимагає відповідного обгрунтування.

Моделі надійності на базі основних теорем теорії імовірностей. Значна частина електроустановок складається з обмеженої кількості певним способом сполучених між собою однотипних чи різнотипних стандартних елементів заводського виготовлення. Прикладами таких установок можуть бути: гірлянди ізоляторів, батареї конденсаторів, тиристорні перетворювачі, пристрої РЗА тощо.

Якщо в результаті заводських випробувань встановлено показники надійності елементів, то надійність роботи установки в цілому можна розрахувати, застосувавши основні теореми теорії імовірностей. При цьому повинна бути відома структура електроустановки й особливості взаємодії елементів.

Нехай структура об'єкта така, що відмова кожного елемента зокрема призводить до відмови об'єкта в цілому. Такі елементи в розумінні надійності сполучені послідовно, хоч в електричній схемі вони можуть бути і непослідовними. Для визначення функції надійності об'єкта в цьому випадку перемножують функції надійності структурних елементів, тобто застосовують теорему множення імовірностей, оскільки об'єкт працює безвідмовно лише у випадку, коли і перший, і другий, і всі інші елементи перебувають у робочому стані

(2.15)

Як бачимо, інтенсивність відмов об’єкта в разі послідовного сполучення його елементів дорівнює сумі інтенсивностей відмов цих елементів

.

(2.16)

Імовірність відмови об'єкта у разі послідовного сполучення його елементів визначають за теоремою додавання ймовірностей сумісних подій. Для малих імовірностей суміщення відмов елементів використовують наближену формулу, що відповідає теоремі додавання ймовірностей несумісних подій

(2.17)

Якщо об'єкт зберігає працездатність аж до відмови його останнього елемента, то в розумінні надійності всі елементи об'єкта сполучені паралельно. Теорему множення ймовірностей застосовують у цьому випадку для визначення ймовірності відмови

(2.18)

Функцію надійності можна визначати за теоремою додавання імовірностей, але враховуючи, що тут не можна нехтувати суміщенням подій, її визначають через .

Для послідовного сполучення невідновлюваних елементів час безвідмовної роботи об'єкта дорівнює часові роботи того елемента, в якого він виявиться найменшим, а для паралельного сполучення - того елемента, в якого він виявиться найбільшим.

Об'єкт може мати і складну послідовно-паралельну структуру. У цьому випадку на першому етапі встановлюють функції , окремих ланок, елементи яких сполучені послідовно чи паралельно. Далі перетворені ланки розглядають як окремі елементи й еквівалентування продовжують до встановлення результуючих показників надійності.

Електроустановки можуть мати резервні елементи. Якщо з загального числа n однакових елементів об'єкта m резервні, то в разі відмові будь-яких k £ m елементів об'єкт не втрачає працездатності. Функція надійності такого об'єкта записується так

,

(2.19)

де - число комбінацій з n елементів по k; - імовірність відмови та функція надійності одного елемента.

Вираз (2.19) отримано на основі теорем додавання та множення ймовірностей і враховано, що об'єкт безвідмовно працює, коли працюють всі його елементи , коли відмовив будь-який один елемент , а решта працюють і т.д.

Приклад 2.2. Встановити функцію надійності P(t) для батареї конденсаторів у комплекті з вимикачем, якщо батарея складається з 4-х паралельно увімкнених конденсаторів із запобіжниками та перестає виконувати свої функції після виходу з ладу двох і більше конденсаторів. Інтенсивність відмови конденсатора 0,01 рік^-1, а вимикача - 0,024 рік^-1.

Розв'язання. Вимикач з батареєю конденсаторів сполучені послідовно, а в батареї один конденсатор резервний, тому

де P_в (t)=exp(-0,024t) - функція надійності вимикача; P_k(t)=exp(-0,01t) - функція надійності конденсатора; Q_k(t)=1-exp(-0,01t) - функція ненадійності конденсатора.

Підставляючи записані вирази функцій у вираз P(t), отримуємо

Якщо структура об'єкта не паралельно-послідовна, то для встановлення показників надійності використовують формулу повної ймовірності. При цьому в розрахунковій схемі об'єкта вибирають один з елементів за базовий і в інтервалі часу (0, t) розглядають два його стани (робочий з імовірністю P_б(t), і неробочий з імовірністю Q_б(t)=1-P_б(t)) як дві гіпотези, для яких аналізують імовірність безвідмовної роботи об'єкта. Згідно з двома станами базового елемента рисують дві розрахункові схеми об'єкта. У першій базовий елемент закорочують (робочий стан), а в другій - розривають (неробочий стан). Далі на основі цих схем визначають функцію надійності об'єкта для першої гіпотези P_р(t) і для другої гіпотези P_н(t). Результуюча функція надійності об'єкта дорівнює

(2.20)

Базовий елемент вибирають так, щоб у разі його закорочення та розривання структура об’єкта перетворювалася в паралельно-послідовну.

Приклад 2.3. Визначити функцію надійності вимірювального пристрою, схема якого зображена на рис. 2.7,а. Елементи пристрою рівнонадійні. Інтенсивність відмов дорівнює l.

Рис. 2.7. Повна (а) та розрахункові (б, в) схеми вимірювального пристрою

Розв'язання. За базовий елемент приймаємо п'ятий

Базовому елементові відповідають дві паралельно-послідовні схеми (рис. 2.7,б,в). Якщо для послідовного сполучення користуватися спрощеною формулою (2.17), то для схеми рис. 2.7,б отримуємо

а для схеми рис. 2.7,в

Функція надійності пристрою

Моделі надійності електроустановок на базі законів розподілу часу безвідмовної роботи та основних теорем теорії ймовірностей - найпростіші та найбільш використовувані моделі.