2.3 Основні форми подання математичних моделей

В залежності від конкретної задачі, яку розв’язує дослідник, математичну модель об’єкта необхідно подати в тій чи іншій формі. Всі ці форми є еквівалентними, вони відтворюють одні і ті ж динамічні властивості об’єкта. Тому необхідно вміти переходити від однієї форми до іншої.

У практиці керування лінеризовані математичні моделі подаються у формі диференціальних рівнянь, передавальних функцій, в формі системи диференціальних рівнянь (в просторі станів), в матрично-векторній формі і в формі матричних передавальних функцій.

Форма диференціальних рівнянь. Якщо у-вхід об’єкта, а - його вихід, то взаємозв’язок між і в динаміці можна відтворити диференціальним рівнянням -го порядку з постійними коефіцієнтами

, (2,16)

де - постійні коефіцієнти.

Інколи користуються іншою індексацією постійних коефіцієнтів, коли індекс коефіцієнта співпадає з порядком похідної, тобто

Для реальних об’єктів завжди має місце співвідношення , яке носить назву умови фізичної реалізації системи.

Форма передавальної функції . Рівняння (7.31) і (7.32) відтворюють динамічні властивості об’єкта (системи) в часовій області, а передавальна функція дає можливість описати динаміку об’єкта в частотній області. Ця форма математичної моделі ґрунтується на перетворенні Лапласа .

Подання математичної моделі в просторі станів. Для розв’язку цілого ряду задач - моделювання на цифрових ЕОМ, оптимізації, “аналітичного” конструювання регуляторів та інше - застосовують опис об’єктів у просторі станів.

Такий опис виникає природнім шляхом при моделюванні багатовимірних об’єктів або в результаті заміни диференціального рівняння - го порядку системою диференціальних рівнянь. Таку заміну можна здійснити декількома способами.

Перший спосіб. Цей спосіб можна застосувати в тому випадку, коли права частина диференціального рівняння не вміщує похідних. В такому випадку маємо

.

Розв’яжемо диференціальне рівняння (2.16) відносно старшої похідної

.

Введемо змінні стану об’єкта

Тоді .

Таким чином, маємо таку систему диференціальних рівнянь

(2.17)

Якщо скористатись оператором суми, то останнє рівняння системи (2.17) можна подати в компактнішому вигляді

,

Третій спосіб. Розглянемо диференціальне рівняння (2.16) в якому . Якщо це не так, то, прирівнюючи до нуля коефіцієнти , завжди зможемо записати диференціальне рівняння у вигляді

.

Рівняння розпадається на систему диференціальних рівнянь першого порядку

(2.18)

Величини визначаються як розв’язок системи лінійних алгебраїчних рівнянь

. (2.19)

Цей спосіб найуніверсальніший, оскільки він не накладає ніяких обмежень на порядок похідної в правій частині диференціального рівняння (2.79)

Приклад 1. Математичну модель об’єкта подати в просторі станів, використовуючи перший і другий способи .

Перший спосіб. Оскільки порядок диференціального рівняння , то динамічні параметри об’єкта в просторі станів будуть характеризуватись двома диференціальними рівняннями першого порядку .

Використовуючи рівняння (2.17) при , отримаємо :

Оскільки і , то

Приклад 2. Математичну модель об’єкта подати в просторі станів, використавши третій спосіб . Оскільки , то у відповідності з (2.18)

В нашому випадку

Невідомі величини знайдемо із системи рівнянь (2.19). Для одержуємо

З врахуванням числових значень відповідних коефіцієнтів маємо систему рівнянь

із якої визначаємо -

Отже,