5.1.3 Моделювання пуассонівського потоку

Розглянемо найпростіший потік з інтенсивністю λ і позначимо моменти надходження вимог на осі (0,t).

Рисунок 5.1 – Моменти надходження вимог для пуассонівського потоку

Визначимо, який розподіл мають проміжки часу T між моментами надходження двох сусідніх вимог.

Очевидно, що проміжки часу Т – випадкові величини. Знайдемо закон їх розподілу. Функція розподілу F(t) визначає ймовірність того, що випадкова величина Т набуде значення, яке менше t, тобто:

F(t)=P, T < t

Нехай t₀ – проміжок часу Т. Знайдемо ймовірність того, що випадкова величина Т буде меншою за t. Для цього потрібно, щоб на проміжок довжиною t, який починається з т. t₀, потрапила хоч одна вимога. Обчислимо функцію F(t) через ймовірність протилежної події, тобто через P₀ того, що за проміжок часу t не надійде жодної вимоги:

F(t) = 1 – P₀

Значення ймовірності P₀ знайдемо за формулою розподілу Пуассона, при умові, що .

(5.2)

Тоді функція розподілу випадкової величини Т має вигляд:

, t > 0 (5.3)

Щоб знайти функцію щільності розподілу f(t) випадкової величини Т, продиференціюємо функцію F(t) за t:

, t > 0 (5.4)

λ = 1; р = 0,5

Отже, щоб отримати пуассонівський потік вхідних вимог, які надходять до системи, достатньо обчислити випадкову величину з експоненціальним розподілом.

Властивості пуассонівського потоку

• стаціонарність;

• відсутність післядії;

• ординарність.

Пуассонівський потік є окремим випадком більш загального потоку Ерланга. Потік Ерланга k-го порядку можна отримати шляхом просіювання пуассонівського потоку, тобто, щоб отримати потік Ерланга k-го порядку треба просумувати k випадкових експоненціально розподілених величин.

Потік Ерланга 1-го порядку (пуассонівський потік)

Потік Ерланга 2-го порядку

Потік Ерланга 3-го порядку

Потік Ерланга 4-го порядку

Рисунок 5.2 – Моделювання потоків Ерланга

5.1.4 Час обслуговування

Показником, що в певній степені характеризує продуктивність СМО є час обслуговування і вказує необхідний час на обслуговування однієї задачі вхідного потоку. Якщо обслуговування задачі системою завершено, то вважають, що запит задоволений. Якість обслуговування запиту даним показником не оцінюється.

В СМО час обслуговування різних задач потоку може бути як постійною, так і випадковою величиною, що залежить від характеру потоку та показників самої системи обслуговування. В загальному випадку час обслуговування розглядається як випадкова величина, що дає можливість описати Т_обсл. відповідним законом через функцію розподілу:

V(t) = P{T < t} , при t > 0,

яка визначає ймовірність того, що випадкове значення часу обслуговування Т_обсл. не буде перевищувати задане число t. Т_обсл. не може бути від’ємним, тому:

V(t) = 0 , при t < 0.

Як і всяка функція розподілу V(t) є невід’ємною монотонно зростаючою функцією, що не перевищує 1.

Функція розподілу часу обслуговування V(t), яка характеризує імовірність того, що час обслуговування не перевищить заданого значення t, задається аналітичним виразом:

, (5.5)

де параметр - характеризує інтенсивність обслуговування і є обернено пропорційний середньому часу обслуговування.

Показниковий закон розподілу часу обслуговування V(t) характеризує, що ймовірність закінчення обслуговування відразу після його початку досить висока, а затягування обслуговування є малоймовірним.

Інша властивість показникового розподілу полягає в тому, що закон розподілу частини часу, що залишився по проходженні певного часу від початку обслуговування не залежить від часу, що проминув від початку обслуговування.

Якщо ми маємо багатопроцесорну (багатоканальну)обчислювальну систему, в якій кожен процесор в стані здійснювати автономну обробку незалежних задач вхідного потоку із відповідним усередненим значенням часу обслуговування , , … , математичне очікування часу обслуговування системою становитиме:

Якщо всі пристрої (процесори) в СМО мають однакову продуктивність і задачі вхідного потоку є однорідними, тобто , то

(5.6)

Якщо СМО розпочинає одночасне обслуговування всіх задач вхідного потоку, то ймовірність того, що СМО завершить обслуговування на інтервалі часу (0,t):

В багатопроцесорній ОСМО зменшується також дисперсія – показник степені розкиду часу обслуговування біля математичного очікування

,

тому при багатопроцесорному обслуговуванні дисперсія становить:

,

тобто зменшується в n² разів порівняно із значенням при однопроцесорному обслуговуванні. Це дозволяє більш точно планувати процедури обслуговування, розподіляти ресурси часу та обчислювати потужності ОСМО.

Показниковий закон найкраще характеризує процедури обслуговування в СМО (ОСМО), є в достатній мірі вивчений.